A capacidade calorífica C_{p} ( cal. K^{-1} . \mathrm{mol}^{-1} ) em função da temperatura T(K) é dada por:
C_{p}(T)=7,219+2,374 \cdot 10^{-3} T+2,67 \cdot 10^{-7} T^{2} ; \quad 300 \leq T \leq 1500
Para sabermos a que temperatura temos uma determinada capacidade calorífica c fazemos C_{p}(T)-c=0. Em vista disto em que temperatura a água tem capacidade calorífica igual a 10 \quad \mathrm{cal} . \mathrm{K}^{-1} . \mathrm{mol}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá a capacidade calorífica molar da água como função de temperatura
C_{p}(T)=7,219 + 2,374\cdot10^{-3}\,T + 2,67\cdot10^{-7}\,T^{2}, \quad 300 \le T \le 1500
e pergunta para qual T vale C_{p}(T)=10 ca l\cdot K ^{-1}·mol ^{-1}. Para isso, vamos resolver a equação
C_{p}(T) - 10 = 0,
que é uma equação quadrática em T.

Passo 2

Vamos escrever C_{p}(T)-10=0 na forma padrão aT^2 + bT + c = 0. Subtraindo 10 de ambos os lados, obtemos
2,67\cdot10^{-7}\,T^2 \;+\; 2,374\cdot10^{-3}\,T \;+\;(7,219 - 10) \;=\;0,
isto é
2,67\cdot10^{-7}\,T^2 + 2,374\cdot10^{-3}\,T - 2,781 = 0.

Passo 3

Identificamos os coeficientes
a = 2,67\cdot10^{-7}, \quad b = 2,374\cdot10^{-3}, \quad c = -2,781.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (2,374\cdot10^{-3})^2 \;-\;4\cdot(2,67\cdot10^{-7})\cdot(-2,781) = 5,636\cdot10^{-6} + 2,969\cdot10^{-6} = 8,605\cdot10^{-6}.

Passo 4

Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
T = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2,374\cdot10^{-3} \pm \sqrt{8,605\cdot10^{-6}}}{2 \times 2,67\cdot10^{-7}}.
Calculando \sqrt{8,605\cdot10^{-6}}\approx 2,933\cdot10^{-3} e o denominador 2a = 5,34\cdot10^{-7}, temos duas soluções:
T_1 = \frac{-2,374\cdot10^{-3} + 2,933\cdot10^{-3}}{5,34\cdot10^{-7}} \approx 1{,}046\times10^{3}\,K,
T_2 = \frac{-2,374\cdot10^{-3} - 2,933\cdot10^{-3}}{5,34\cdot10^{-7}} \approx -9{,}937\times10^{3}\,K.

Passo 5

A única raiz fisicamente válida e no intervalo 300\le T\le1500 é
T \approx 1{,}046\times10^{3}\,K \approx 1046\,K.

Resposta

A água tem capacidade calorífica igual a 10 ca l\cdot K ^{-1}·mol ^{-1} em aproximadamente 1046,K.

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