Resolva os seguintes problemas, aplicando os conceitos de Séries de Taylor e Maclaurin. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Calcule o limite usando séries: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}
usando séries de Maclaurin. Vamos precisar da expansão em série de \sin x em torno de 0 até termos de ordem x^5 para identificar o coeficiente de x^3.

Passo 2

A série de Maclaurin de \sin x é
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
Portanto, até a ordem x^5, temos
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7).

Passo 3

Subtraindo x dessa expansão, obtemos
\sin x - x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\Bigr) - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7).

Passo 4

Dividindo por x^3, fica
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} + O(x^4).

Passo 5

Quando x\to0, os termos de ordem superior \tfrac{x^2}{120} e O(x^4) tendem a zero. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\frac{1}{6}

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