Questão
Consideremos o número de Fermat
, onde
é um número natural.
(a) Mostre que se
, então
divide
.
(b) Mostre que se
, então
e
são primos entre si.
Consideremos o número de Fermat
(a) Mostre que se
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define os números de Fermat
e pede duas coisas:
(a) mostrar que, se , então
divide
;
(b) mostrar que, se , então
.
Vamos usar a identidade telescópica que liga o produto dos primeiros Fermat a e em seguida aplicar propriedades de máximo divisor comum.
(a) mostrar que, se
(b) mostrar que, se
Vamos usar a identidade telescópica que liga o produto dos primeiros Fermat a
Passo 2
Prova de (a). Observamos que, para todo
, vale a relação clássica
Somando
em ambos os lados, temos
ou seja
Como
, o fator
faz parte desse produto, logo
Passo 3
Prova de (b). Seja
. Como
e
, segue que
pelo que mostramos em (a). Assim
divide
e também divide
. Como cada
é ímpar e maior que
, a única possibilidade é
Portanto
, ou seja,
e
são primos entre si sempre que
.
Resposta
(a) Usamos a identidade
de onde, se
, conclui-se
.
(b) Qualquer divisor comum de
e
também divide
, logo divide
e
; como
é ímpar maior que
, só pode valer
. Portanto
.
(b) Qualquer divisor comum