Questão 06 \quad[1,25:::(\mathrm{a})=0,75 ;(\mathrm{b})=0,50]
Consideremos o número de Fermat F_{n}=2^{\left(2^{n}\right)}+1, onde n é um número natural.
(a) Mostre que se m<n, então F_{m} divide F_{n}-2.
(b) Mostre que se m \neq n, então F_{m} e F_{n} são primos entre si.

Passo 1

O enunciado define os números de Fermat
F_n = 2^{2^n} + 1
e pede duas coisas:
(a) mostrar que, se m<n, então F_m divide F_n - 2;
(b) mostrar que, se m\neq n, então \gcd(F_m,F_n)=1.
Vamos usar a identidade telescópica que liga o produto dos primeiros Fermat a F_n-2 e em seguida aplicar propriedades de máximo divisor comum.

Passo 2

Prova de (a). Observamos que, para todo n\ge1, vale a relação clássica
\prod_{k=0}^{n-1}F_k = \bigl(2^{2^0}+1\bigr)\bigl(2^{2^1}+1\bigr)\cdots\bigl(2^{2^{n-1}}+1\bigr) = 2^{2^n}-1.
Somando 2 em ambos os lados, temos
\prod_{k=0}^{n-1}F_k + 2 = 2^{2^n}+1 = F_n,
ou seja
\prod_{k=0}^{n-1}F_k = F_n - 2.
Como m<n, o fator F_m faz parte desse produto, logo
F_m \mid \prod_{k=0}^{n-1}F_k = F_n - 2.

Passo 3

Prova de (b). Seja d = \gcd(F_m,F_n). Como d\mid F_m e d\mid F_n, segue que
d \mid \bigl(F_n - 2\bigr)
pelo que mostramos em (a). Assim d divide F_m e também divide 2. Como cada F_m = 2^{2^m}+1 é ímpar e maior que 2, a única possibilidade é d=1. Portanto \gcd(F_m,F_n)=1, ou seja, F_m e F_n são primos entre si sempre que m\neq n.

Resposta

(a) Usamos a identidade
\prod_{k=0}^{n-1}F_k = F_n - 2,
de onde, se m<n, conclui-se F_m\mid(F_n-2).
(b) Qualquer divisor comum d de F_m e F_n também divide F_n-2, logo divide 2 e F_m; como F_m é ímpar maior que 2, só pode valer d=1. Portanto \gcd(F_m,F_n)=1.

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