A distribuição do número de filhos, por família, de uma zona rural está no quadro abaixo:
|
Porcentagem |
---|---|
0 | 10 |
1 | 20 |
2 | 30 |
3 | 25 |
4 | 15 |
Total | 100 |
a) Sugira um procedimento para sortear uma observação ao acaso dessa população.
b) Dê, na forma de uma tabela de dupla entrada, as possíveis amostras do número de filhos de duas famílias que podem ser sorteadas e as respectivas probabilidades de ocorrência.
c) Se fosse escolhida uma amostra de tamanho 4, qual seria a probabilidade de se observar a quádrupla ordenada ?
b) Dê, na forma de uma tabela de dupla entrada, as possíveis amostras do número de filhos de duas famílias que podem ser sorteadas e as respectivas probabilidades de ocorrência.
c) Se fosse escolhida uma amostra de tamanho 4, qual seria a probabilidade de se observar a quádrupla ordenada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma tabela que mostra a distribuição do número de filhos por família em uma zona rural. A tabela indica quantas famílias têm 0, 1, 2, 3 ou 4 filhos, em porcentagens. O conteúdo aqui é sobre probabilidade e amostragem. Para resolver, vamos precisar entender como sortear observações randomly e calcular probabilidades de eventos específicos.
Passo 2
Parte a): A primeira parte pede para sugerir um procedimento para sortear uma observação ao acaso dessa população. Basicamente, queremos escolher uma família aleatoriamente, respeitando as porcentagens dadas.
Como fazer isso?
Uma maneira simples é usar uma roleta de probabilidade. Imagina que a roleta é dividida em segmentos proporcionais às porcentagens:
- 0 filhos: 10%
- 1 filho: 20%
- 2 filhos: 30%
- 3 filhos: 25%
- 4 filhos: 15%
Você gira a roleta e a família cujo segmento for apontado é a que você sorteou.
Outra opção é usar um gerador de números aleatórios:
-
Atribuir intervalos a cada número de filhos com base nas porcentagens:
- 0 filhos: de 0 a 10
- 1 filho: de 10 a 30
- 2 filhos: de 30 a 60
- 3 filhos: de 60 a 85
- 4 filhos: de 85 a 100
-
Gerar um número entre 0 e 100.
-
Verificar em qual intervalo o número caiu para determinar o número de filhos da família sorteada.
Passo 3
Parte b): Agora, precisamos montar uma tabela de dupla entrada com todas as possíveis combinações do número de filhos de duas famílias sorteadas e suas respectivas probabilidades.
Passos para construir a tabela:
-
Listar todas as combinações possíveis dos números de filhos para duas famílias. Como cada família pode ter 0, 1, 2, 3 ou 4 filhos, teremos 5 opções para a primeira família e 5 para a segunda, totalizando 25 combinações.
-
Calcular a probabilidade de cada combinação ocorrer. Como os sorteios são independentes, a probabilidade de cada combinação é o produto das probabilidades individuais.
Tabela de Dupla Entrada:
Família 1 \ Família 2 | 0 filhos | 1 filho | 2 filhos | 3 filhos | 4 filhos |
---|---|---|---|---|---|
0 filhos | 0.10×0.10=0.01 | 0.10×0.20=0.02 | 0.10×0.30=0.03 | 0.10×0.25=0.025 | 0.10×0.15=0.015 |
1 filho | 0.20×0.10=0.02 | 0.20×0.20=0.04 | 0.20×0.30=0.06 | 0.20×0.25=0.05 | 0.20×0.15=0.03 |
2 filhos | 0.30×0.10=0.03 | 0.30×0.20=0.06 | 0.30×0.30=0.09 | 0.30×0.25=0.075 | 0.30×0.15=0.045 |
3 filhos | 0.25×0.10=0.025 | 0.25×0.20=0.05 | 0.25×0.30=0.075 | 0.25×0.25=0.0625 | 0.25×0.15=0.0375 |
4 filhos | 0.15×0.10=0.015 | 0.15×0.20=0.03 | 0.15×0.30=0.045 | 0.15×0.25=0.0375 | 0.15×0.15=0.0225 |
Observação: As probabilidades estão em decimal, representando a chance de cada combinação ocorrer.
Passo 4
Parte c): Agora, a gente quer saber qual a probabilidade de, ao escolher uma amostra de tamanho 4, observar a quádrupla ordenada
.
Entendendo o que é pedido:
A quádrupla ordenada
significa que, na amostra de 4 famílias:
- A primeira família tem 2 filhos,
- A segunda tem 3 filhos,
- A terceira tem 3 filhos,
- A quarta tem 1 filho.
Como calcular essa probabilidade?
Como cada sorteio é independente, a probabilidade total é o produto das probabilidades individuais de cada sorteio.
Vamos utilizar as porcentagens convertidas em decimal:
- Probabilidade de uma família ter 2 filhos:
- Probabilidade de uma família ter 3 filhos:
- Probabilidade de uma família ter 1 filho:
Portanto, a probabilidade da quádrupla ordenada
é:
Vamos calcular:
Resposta
a) Procedimento sugerido para sortear uma observação ao acaso:
Utilizar uma roleta de probabilidade com segmentos proporcionais às porcentagens apresentadas ou gerar um número aleatório entre 0 e 100 e determinar o número de filhos com base nos intervalos correspondentes.
b) Tabela de dupla entrada das possíveis amostras de duas famílias e suas probabilidades:
Família 1 \ Família 2 | 0 filhos | 1 filho | 2 filhos | 3 filhos | 4 filhos |
---|---|---|---|---|---|
0 filhos | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.025 | 0.015 |
1 filho | 0.02 | 0.04 | 0.06 | 0.05 | 0.03 |
2 filhos | 0.03 | 0.06 | 0.09 | 0.075 | 0.045 |
3 filhos | 0.025 | 0.05 | 0.075 | 0.0625 | 0.0375 |
4 filhos | 0.015 | 0.03 | 0.045 | 0.0375 | 0.0225 |
c) Probabilidade de observar a quádrupla ordenada
:
A probabilidade é
ou
.