A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos X dos usuários for suposta Normal com média 70 kg e desvio-padrão 10 kg :
(a) Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
(b) E seis passageiros?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o peso total de n passageiros ultrapasse 500 kg, sabendo que cada peso X_i é independente e tem distribuição Normal com média \mu=70 kg e desvio-padrão \sigma=10 kg. Vamos usar a propriedade de soma de Normais independentes:

Passo 2

Seja
S_n = \sum_{i=1}^n X_i.
Então
S_n \sim N\bigl(n\mu,\;n\sigma^2\bigr),
isto é, S_n é Normal com média n\mu e variância n\sigma^2. Para calcular
P\bigl(S_n>500\bigr)
padronizamos:
Z = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\sim N(0,1),
P\bigl(S_n>500\bigr) =1 - \Phi\!\Bigl(\frac{500 - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\Bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 3

Caso n=7:
Média de S_7 é 7\cdot70=490, desvio é \sqrt{7}\,10=\sqrt{700}\approx26{,}46.
O escore é
z = \frac{500 - 490}{26{,}46}\approx0{,}378.
Logo
P(S_7>500) =1 - \Phi(0{,}378)\approx1 - 0{,}6479 = 0{,}3521.

Passo 4

Caso n=6:
Média de S_6 é 6\cdot70=420, desvio é \sqrt{6}\,10=\sqrt{600}\approx24{,}50.
O escore é
z = \frac{500 - 420}{24{,}50}\approx3{,}265.
Logo
P(S_6>500) =1 - \Phi(3{,}265)\approx1 - 0{,}9994 = 0{,}0006.

Resposta

(a) P(S_7>500)\approx0{,}3521.
(b) P(S_6>500)\approx0{,}0006.

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