Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-se que 30 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média amostral de 501,2 horas, com um desvio padrão populacional conhecido de 4 horas. Supondo que a duração da vida de uma peça tenha distribuição normal, encontre:
(a) Uma estimativa pontual para a duração de vida média populacional das peças;
(b) Um intervalo de confiança de 95 \% para a duração de vida média populacional das peças.
(c) Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado diz que temos n=30 peças ensaiadas, com vida média amostral \bar{x}=501,2 horas e desvio padrão populacional conhecido \sigma=4 horas. Assumindo X\sim N(\mu,\sigma^2), o conteúdo é estimação pontual e intervalo de confiança para a média populacional \mu com \sigma conhecido.

Passo 2

A estimativa pontual de \mu é simplesmente a média amostral:
\hat\mu = \bar{x} = 501,2.

Passo 3

Para um intervalo de confiança de 95\% usamos
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
com \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96. O erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0,73.
A margem de erro é
1,96 \times 0,73 \approx 1,43.
Logo o intervalo de confiança de 95\% é
[501,2 - 1,43;\;501,2 + 1,43] = [499,77;\;502,63].

Passo 4

Isso significa que, se repetíssemos muitos experimentos iguais, cerca de 95\% dos intervalos construídos capturariam o verdadeiro valor de \mu. Aqui estamos 95\% confiantes de que a duração média de todas as peças está entre 499,77 e 502,63 horas.

Resposta

(a) \hat\mu = 501,2.
(b) Intervalo de confiança de 95\%: [499,77;\;502,63].
(c) Interpretação: há 95\% de confiança de que a vida média populacional \mu está entre 499,77 e 502,63 horas.

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