Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 ohms e um desvio-padrão de 10 ohms. A distribuição de resistências é normal.
(a) Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n=25 resistores ter uma resistência média menor que 95 ohms.
(b) Qual o tamanho da amostra que a companhia eletrônica deve avaliar para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 e 102 ohms seja de 95 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que a resistência X de cada resistor é X\sim N(\mu, \sigma^2) com \mu=100 Ω e \sigma=10 Ω. Estamos trabalhando com a média amostral \bar X de uma amostra de tamanho n. Para resolver, precisamos usar a distribuição de \bar X, que é normal com média \mu e desvio‐padrão \sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt{n}.

Passo 2

Como \bar X\sim N\bigl(\mu,\sigma^2/n\bigr), temos
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

(a) Para n=25 vale
\sigma_{\bar X} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2\text{ \Omega}.
Queremos
P\bigl(\bar X<95\bigr) = P\Bigl(Z< \frac{95-100}{2}\Bigr) = P\bigl(Z< -2{,}5\bigr).
Consultando a tabela da normal padrão, P(Z< -2{,}5)=\Phi(-2{,}5)\approx 0{,}0062.

Passo 4

(b) Queremos P\bigl(98<\bar X<102\bigr)=0{,}95. Como o intervalo é simétrico em torno de \mu=100, escrevemos
P\bigl(|\bar X-100|<2\bigr) =2\,\Phi\!\Bigl(\frac{2}{\sigma_{\bar X}}\Bigr)-1=0{,}95.
Logo
\Phi\!\Bigl(\frac{2}{10/\sqrt{n}}\Bigr)=0{,}975,
de onde \frac{2}{10/\sqrt{n}}=z_{0{,}975}=1{,}96. Então
2 = 1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n} = \frac{1{,}96\cdot10}{2}=9{,}8 \quad\Longrightarrow\quad n = (9{,}8)^2 \approx 96{,}04.
Como n deve ser inteiro, arredondamos para cima: n=97.

Resposta

(a) 0{,}0062
(b) 97 resistores.

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