Sejam X_{1} e X_{2} va’s independentes tais que E\left(X_{1}\right)=E\left(X_{2}\right)=\mu, \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2} e \operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}. Considere uma amostra de tamanho n=2 sendo uma observação da va X_{1} e a outra de X_{2}.
Sendo \hat{\mu}=w_{1} X_{1}+w_{2} X_{2} um estimador para \mu, determine:
a) Qual a condição sobre w_{1} e w_{2} para que \hat{\mu} não seja viesado?
b) Sob a condição acima, determine os valores de w_{1} e w_{2} para que a variância de \hat{\mu} seja mínima.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes X_{1} e X_{2} com
E(X_{1})=E(X_{2})=\mu, \quad \operatorname{Var}(X_{1})=\sigma_{1}^{2}, \quad \operatorname{Var}(X_{2})=\sigma_{2}^{2}.
Definimos um estimador linear de \mu pela combinação
\hat{\mu}=w_{1}X_{1}+w_{2}X_{2}.
Precisamos (a) garantir que \hat{\mu} seja não viesado e (b) escolher w_{1},w_{2} que minimizem a variância de \hat{\mu} sob essa condição.

Passo 2

Para que \hat{\mu} seja não viesado, exigimos
E(\hat{\mu})=E(w_{1}X_{1}+w_{2}X_{2}) = w_{1}E(X_{1}) + w_{2}E(X_{2}) = w_{1}\mu + w_{2}\mu = (w_{1}+w_{2})\,\mu
deve ser igual a \mu. Logo a condição é
w_{1}+w_{2}=1.

Passo 3

Sob w_{2}=1-w_{1}, a variância de \hat{\mu} é
\operatorname{Var}(\hat{\mu}) = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + (1-w_{1})^{2}\sigma_{2}^{2}.
Para minimizar, derivamos em relação a w_{1} e igualamos a zero:
\frac{d}{dw_{1}}\bigl[w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + (1-w_{1})^{2}\sigma_{2}^{2}\bigr] = 2w_{1}\sigma_{1}^{2} - 2(1-w_{1})\sigma_{2}^{2} =0
\Longrightarrow w_{1}\,\sigma_{1}^{2} = (1-w_{1})\,\sigma_{2}^{2} \quad\Longrightarrow\quad w_{1}(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})=\sigma_{2}^{2} \quad\Longrightarrow\quad w_{1}=\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.
E como w_{2}=1-w_{1}, segue
w_{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.

Resposta

(a) A condição de não viesado é
w_{1}+w_{2}=1.
(b) Sob essa condição,
w_{1}=\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}, \quad w_{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.

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