A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos dos usuários é suposta normal com média 70 kg e desvio padrão 10 kg . Qual é probabilidade de que 10 passageiros ultrapassem esse limite ?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elevador com capacidade máxima de 500 kg. Cada pessoa que entra no elevador pesa, em média, 70 kg, com um desvio padrão de 10 kg. A distribuição desses pesos é normal. A pergunta é: qual a probabilidade de que 10 passageiros juntos passem desse limite de 500 kg? Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição normal e a soma de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição dos pesos. Cada pessoa tem um peso que segue uma distribuição normal com média ( mu) de 70 kg e desvio padrão ( sigma) de 10 kg. Quando somamos os pesos de 10 pessoas, a soma também segue uma distribuição normal. A média da soma será a soma das médias individuais, e o desvio padrão da soma será a raiz quadrada da soma das variâncias individuais.

Passo 3

Vamos calcular a média ( muS) e o desvio padrão ( sigmaS) da soma dos pesos de 10 pessoas:
muS = n times mu = 10 times 70 = 700 kg
sigmaS = raizn times sigma^2 = raiz10 times 10^2 = raiz1000 approx 31,62 kg
Então, a soma dos pesos segue uma distribuição normal S sim N(700, 1000).

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de que a soma dos pesos S seja maior que 500 kg, ou seja, P(S > 500). Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar a variável S transformando-a em uma variável Z que segue a distribuição normal padrão.

Passo 5

A padronização é feita pela seguinte fórmula:
Z = S - muSsigmaS = 500 - 70031,62 approx -20031,62 approx -6,325
Então, estamos procurando P(Z > -6,325).

Passo 6

Na distribuição normal padrão, P(Z > -6,325) é praticamente 1, porque -6,325 está muito à esquerda do centro da distribuição. Na prática, a probabilidade de Z ser maior que -6,325 é quase 100%.

Resposta

A probabilidade de que 10 passageiros juntos ultrapassem o limite de 500 kg é praticamente 100%.

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