A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos dos usuários é suposta normal com média 70 kg e desvio padrão 10 kg . Qual é probabilidade de que 10 passageiros ultrapassem esse limite ?.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elevador com capacidade máxima de 500 kg. Cada pessoa que entra no elevador pesa, em média, 70 kg, com um desvio padrão de 10 kg. A distribuição desses pesos é normal. A pergunta é: qual a probabilidade de que 10 passageiros juntos passem desse limite de 500 kg? Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição normal e a soma de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição dos pesos. Cada pessoa tem um peso que segue uma distribuição normal com média (
) de 70 kg e desvio padrão (
) de 10 kg. Quando somamos os pesos de 10 pessoas, a soma também segue uma distribuição normal. A média da soma será a soma das médias individuais, e o desvio padrão da soma será a raiz quadrada da soma das variâncias individuais.
Passo 3
Vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da soma dos pesos de 10 pessoas:
Então, a soma dos pesos segue uma distribuição normal
.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de que a soma dos pesos
seja maior que 500 kg, ou seja,
. Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar a variável
transformando-a em uma variável
que segue a distribuição normal padrão.
Passo 5
A padronização é feita pela seguinte fórmula:
Então, estamos procurando
.
Passo 6
Na distribuição normal padrão,
é praticamente 1, porque -6,325 está muito à esquerda do centro da distribuição. Na prática, a probabilidade de
ser maior que -6,325 é quase 100%.
Resposta
A probabilidade de que 10 passageiros juntos ultrapassem o limite de 500 kg é praticamente 100%.