Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
respectivamente. Se
, obtenha
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem a distribuição de Poisson com parâmetros $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ respectivamente. Além disso, elas são independentes. A gente precisa encontrar a função de probabilidade condicional $ f_{X \mid Z}(x) = P(X = x \mid Z = z) $, onde $ Z = X + Y $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e propriedades da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes e seguem distribuições de Poisson, a soma $ Z = X + Y $ também segue uma distribuição de Poisson. O parâmetro dessa distribuição é a soma dos parâmetros individuais, ou seja, $ Z \sim Poisson(\mu_1 + \mu_2) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X $ ser igual a $ x $ dado que a soma $ Z $ é igual a $ z $. Isso é representado por $ P(X = x \mid Z = z) $. Usamos a definição de probabilidade condicional:
Passo 4
Como $ Z = X + Y $, a condição $ Z = z $ implica que $ Y = z - x $. Portanto, podemos reescrever:
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
Passo 5
Vamos substituir as probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Substituindo na fórmula anterior:
Simplificando os termos, percebemos que os fatores exponenciais $ e^{-\mu_1} e^{-\mu_2} $ se cancelam com $ e^{-(\mu_1 + \mu_2)} $, e reorganizamos os termos:
Isso é a fórmula da distribuição binomial!
Resposta
A função de probabilidade condicional é dada por: