Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros mu1 e mu2 respectivamente. Se Z=X+Y, obtenha fX mid z(x)=P(X=x mid Z=z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem a distribuição de Poisson com parâmetros $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ respectivamente. Além disso, elas são independentes. A gente precisa encontrar a função de probabilidade condicional $ f_{X \mid Z}(x) = P(X = x \mid Z = z) $, onde $ Z = X + Y $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e propriedades da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes e seguem distribuições de Poisson, a soma $ Z = X + Y $ também segue uma distribuição de Poisson. O parâmetro dessa distribuição é a soma dos parâmetros individuais, ou seja, $ Z \sim Poisson(\mu_1 + \mu_2) $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X $ ser igual a $ x $ dado que a soma $ Z $ é igual a $ z $. Isso é representado por $ P(X = x \mid Z = z) $. Usamos a definição de probabilidade condicional:
X

Passo 4

Como $ Z = X + Y $, a condição $ Z = z $ implica que $ Y = z - x $. Portanto, podemos reescrever:
Z = X + Y
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
Z = z

Passo 5

Vamos substituir as probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(X = x) = e^-mu1 mu1^xx! e P(Y = z - x) = e^-mu2 mu2^z - x(z - x)!
Substituindo na fórmula anterior:
P(X = x mid Z = z) = e^-mu1 mu1^xx! cdot e^-mu2 mu2^z - x(z - x)!e^-(mu1 + mu2) (mu1 + mu2)^zz!
Simplificando os termos, percebemos que os fatores exponenciais $ e^{-\mu_1} e^{-\mu_2} $ se cancelam com $ e^{-(\mu_1 + \mu_2)} $, e reorganizamos os termos:
e^-mu1 e^-mu2
Isso é a fórmula da distribuição binomial!

Resposta

A função de probabilidade condicional é dada por:
fX mid Z(x) = binomzx ( mu1mu1 + mu2 )^x ( mu2mu1 + mu2 )^z - x

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