Suponha que
e
são variáveis aleatórias i.i.d. e com função densidade dada por:
Determine a função densidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de
, onde
e
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com a função densidade
para
. Vamos usar conceitos de convolução de funções densidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
e
são independentes, a função densidade da soma
é a convolução das funções densidade de
e
. A fórmula da convolução para duas variáveis é:
Passo 3
Sabemos que
e
para
. Então, substituindo na fórmula da convolução, ficamos com:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de
de 0 a
é simplesmente
. Portanto:
Resposta
A função densidade de
é: