Suponha que X1 e X2 são variáveis aleatórias i.i.d. e com função densidade dada por:
f(x)=e^-x I(0, infty)(x)
Determine a função densidade de Y=X1+X2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de , onde e são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com a função densidade para . Vamos usar conceitos de convolução de funções densidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como fY(y) = integral0^y fX1(x) cdot fX2(y - x) , dx e são independentes, a função densidade da soma é a convolução das funções densidade de e . A fórmula da convolução para duas variáveis é:

Passo 3

Sabemos que fY(y) = integral0^y e^-x cdot e^-(y - x) , dx e para . Então, substituindo na fórmula da convolução, ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
e^-x cdot e^-(y - x) = e^-y
Então, a integral fica:
fY(y) = e^-y integral0^y dx

Passo 5

A integral de fY(y) = e^-y cdot y de 0 a é simplesmente . Portanto:

Resposta

A função densidade de fY(y) = y , e^-y para y > 0 é:

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