Sejam . variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância da variável aleatória dimensional da seguinte forma
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro variáveis aleatórias $ X_1, X_2, X_3, X_4 $ e uma matriz de variância-covariância $ \Sigma $ de ordem $ 4 \times 4 $. A matriz $ \Sigma $ nos mostra como essas variáveis se relacionam entre si em termos de variância e covariância. O que precisamos encontrar aqui é o coeficiente de correlação entre $ X_1 $ e a combinação $ X_1 - 2X_3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de correlação. Ele mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
rho(A, B) = Cov(A, B)raizVar(A) cdot Var(B)
Então, para encontrar $ \rho(X_1, X_1 - 2X_3) $, precisamos calcular a covariância entre $ X_1 $ e $ X_1 - 2X_3 $, além das variâncias de $ X_1 $ e de $ X_1 - 2X_3 $.
Passo 3
Vamos começar calculando a variância de $ X_1 - 2X_3 $. A variância de uma combinação linear de variáveis é dada por: