Sejam X1, ldots, Xn. variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância Sigma da variável aleatória n- dimensional (X1, ldots, Xn) da seguinte forma
Sigma=(cclc COV(X1, X1) & COV(X1, X1) & , ldots, & COV(X1, Xn) COV(X1, X2) & COV(X2, X2) & , ldots, & COV(X2, Xn) vdots & vdots & , cdots, & vdots COV(Xn, X1) & COV(Xn, X2) & , ldots, & COV(Xn, Xn) )
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Sigma=(cccc 16 & -3 & 2 & 1 -3 & 25 & 2 & 0 2 & 2 & 100 & 2 1 & 0 & 2 & 400 )
Determine: © O valor rho(x1, X1-2 X3), isto é o coeficiente de correlação de X1 e X1-2 X3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro variáveis aleatórias $ X_1, X_2, X_3, X_4 $ e uma matriz de variância-covariância $ \Sigma $ de ordem $ 4 \times 4 $. A matriz $ \Sigma $ nos mostra como essas variáveis se relacionam entre si em termos de variância e covariância. O que precisamos encontrar aqui é o coeficiente de correlação entre $ X_1 $ e a combinação $ X_1 - 2X_3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de correlação. Ele mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
rho(A, B) = Cov(A, B)raizVar(A) cdot Var(B)
Então, para encontrar $ \rho(X_1, X_1 - 2X_3) $, precisamos calcular a covariância entre $ X_1 $ e $ X_1 - 2X_3 $, além das variâncias de $ X_1 $ e de $ X_1 - 2X_3 $.

Passo 3

Vamos começar calculando a variância de $ X_1 - 2X_3 $. A variância de uma combinação linear de variáveis é dada por:
X1 - 2X3
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = -2 $, então:
Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)
Usando os valores da matriz $ \Sigma $:
a = 1
Substituindo:
b = -2

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância entre $ X_1 $ e $ X_1 - 2X_3 $. A covariância entre uma variável e uma combinação linear é:
X1
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = -2 $, então:
X1 - 2X3
Sabemos que:
Cov(X, aY + bZ) = a Cov(X, Y) + b Cov(X, Z)
Substituindo:
a = 1

Passo 5

Agora que temos a covariância e as variâncias necessárias, podemos aplicar a fórmula do coeficiente de correlação:
rho(X1, X1 - 2X3) = Cov(X1, X1 - 2X3)raizVar(X1) cdot Var(X1 - 2X3)
Substituindo os valores que encontramos:
rho(X1, X1 - 2X3) = 12raiz16 cdot 408 = 12raiz6528 approx 1280.8 approx 0.1485

Resposta

O coeficiente de correlação $ \rho(X_{1}, X_{1}-2 X_{3}) $ é aproximadamente 0,1485.

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