Suponha que
e
são variáveis aleatórias i.i.d. e que cada uma delas segue distribuição uniforme no intervalo
. Encontre a função densidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, que são independentes e identicamente distribuídas, cada uma seguindo uma distribuição uniforme no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar a função densidade da variável $ Y = X_1 + X_2 $. Para isso, vamos precisar entender sobre convolução de funções densidade de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função densidade de uma distribuição uniforme no intervalo
. Para qualquer $ X $ que siga essa distribuição, a função densidade $ f_X(x) $ é dada por:
Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são i.i.d., elas têm a mesma função densidade:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a função densidade de $ Y = X_1 + X_2 $. Quando somamos duas variáveis independentes, a densidade de $ Y $ é a convolução das densidades de $ X_1 $ e $ X_2 $. A fórmula da convolução para $ Y = X_1 + X_2 $ é:
Passo 4
Como $ f_{X_1}(x) $ e $ f_{X_2}(x) $ são não zero apenas entre 0 e 1, os limites da integral podem ser ajustados para onde os produtos das funções densidade não são zero. Isso significa que:
- Para $ 0 < y < 1 $, os limites da integral são de $ 0 $ a $ y $.
- Para $ 1 \leq y < 2 $, os limites são de $ y - 1 $ a $ 1 $.
Então, a função densidade fica:
Passo 5
Resolvendo as integrais:
-
Para $ 0 < y < 1 $:
0 < y < 1 -
Para $ 1 \leq y < 2 $:
fY(y) = integral0^y 1 , dx = y
Resposta
Então, a função densidade de $ Y = X_1 + X_2 $ é: