Três capacitores de capacitâncias 6 \mu \mathrm{~F}, 3 \mu \mathrm{Fe} 2 \mu \mathrm{~F} são associados em paralelo. Aplicando-se aos terminais da associação a ddp de 10 V , determine:
a) a carga e a ddp em cada capacitor;
b) a carga da associação;
c) a capacitância do capacitor equivalente;
d) a energia potencial elétrica da associação.

Passo 1

O enunciado dá os três capacitores ligados em paralelo e pede quatro coisas. Dados e perguntas (tudo explicitado):
  • Capacidades: C_1=6\,\mu\mathrm{F}, C_2=3\,\mu\mathrm{F}, C_3=2\,\mu\mathrm{F}.
  • Diferença de potencial (ddp) aplicada aos terminais da associação: V_{\text{aplicada}}=10\,\mathrm{V}.
Perguntas:
a) Determinar a carga e a ddp em cada capacitor.
b) Determinar a carga total da associação.
c) Determinar a capacitância equivalente da associação.
d) Determinar a energia potencial elétrica armazenada pela associação.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas, sem pular etapas):
  • Definição de capacitância: a capacitância C de um capacitor relaciona a carga q na armadura com a ddp V entre as armaduras por
q = C\,V.
Aqui q está em coulombs ( \mathrm{C}), C em farads ( \mathrm{F}) e V em volts ( \mathrm{V}). Para unidades práticas: 1\,\mu\mathrm{F}=10^{-6}\,\mathrm{F} e 1\,\mu\mathrm{C}=10^{-6}\,\mathrm{C}.
  • Regra de associação em paralelo: quando capacitores estão em paralelo, a ddp em todos eles é a mesma (igual à ddp aplicada). A capacitância equivalente é a soma das capacitâncias, e a carga total é a soma das cargas individuais:
V_1=V_2=V_3=V_{\text{aplicada}},\qquad C_{\text{eq}}=C_1+C_2+C_3,
q_{\text{total}}=q_1+q_2+q_3.
  • Energia elétrica armazenada num capacitor: a energia (energia potencial elétrica) armazenada por um capacitor pode ser obtida integrando o trabalho para carregar:
U=\int_0^{Q} v\,\mathrm{d}q=\int_0^{Q}\frac{q}{C}\,\mathrm{d}q=\frac{Q^2}{2C},
onde Q é a carga final. Usando Q=CV obtemos as formas equivalentes
U=\frac{1}{2}QV=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CV^2.
Aqui U fica em joules ( \mathrm{J}) se C estiver em farads e V em volts.

Passo 3

Aplicando a regra de paralelo à pergunta (a): ddp em cada capacitor.
Como estão em paralelo, a ddp em cada capacitor é a ddp aplicada:
V_1=V_2=V_3=V_{\text{aplicada}}=10\,\mathrm{V}.
Isso responde a parte da ddp pedida em (a).

Passo 4

Calcular as cargas individuais usando q=C\,V. Vou calcular em \mu\mathrm{C} porque as capacitâncias estão em \mu\mathrm{F} e a tensão em \mathrm{V}; o produto dá \mu\mathrm{C} diretamente.
  • Para C_1=6\,\mu\mathrm{F}:
q_1 = C_1 V_1 = 6\,\mu\mathrm{F}\times 10\,\mathrm{V}=60\,\mu\mathrm{C}.
Explicação numérica: 6\times10=60, unidade \mu\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}=\mu\mathrm{C}.
  • Para C_2=3\,\mu\mathrm{F}:
q_2 = C_2 V_2 = 3\,\mu\mathrm{F}\times 10\,\mathrm{V}=30\,\mu\mathrm{C}.
  • Para C_3=2\,\mu\mathrm{F}:
q_3 = C_3 V_3 = 2\,\mu\mathrm{F}\times 10\,\mathrm{V}=20\,\mu\mathrm{C}.
Mostro também em coulombs, se preferir converter: q_1=60\times10^{-6}\,\mathrm{C}=6{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{C}, etc., mas a notação em \mu\mathrm{C} é suficiente e prática.

Passo 5

Calcular a carga total da associação (pergunta b): soma das cargas individuais:
q_{\text{total}}=q_1+q_2+q_3=60\,\mu\mathrm{C}+30\,\mu\mathrm{C}+20\,\mu\mathrm{C}=110\,\mu\mathrm{C}.
Posso também escrever em coulombs: 110\,\mu\mathrm{C}=110\times10^{-6}\,\mathrm{C}=1,10\times10^{-4}\,\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a capacitância equivalente da associação (pergunta c): soma direta em paralelo:
C_{\text{eq}}=C_1+C_2+C_3=6\,\mu\mathrm{F}+3\,\mu\mathrm{F}+2\,\mu\mathrm{F}=11\,\mu\mathrm{F}.
Se quiser em farads: 11\,\mu\mathrm{F}=11\times10^{-6}\,\mathrm{F}=1,1\times10^{-5}\,\mathrm{F}.

Passo 7

Calcular a energia total armazenada (pergunta d). Uso a forma com a capacitância equivalente e a ddp aplicada:
U=\frac{1}{2}C_{\text{eq}}V^2.
Substituindo C_{\text{eq}}=11\,\mu\mathrm{F} e V=10\,\mathrm{V}:
U=\frac{1}{2}\times 11\,\mu\mathrm{F}\times(10\,\mathrm{V})^2.
Calcule passo a passo: (10\,\mathrm{V})^2=100\,\mathrm{V}^2. Então
U=\frac{1}{2}\times 11\times10^{-6}\,\mathrm{F}\times 100= \frac{1}{2}\times 11\times10^{-4}\,\mathrm{J}=5{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J}.
Em unidades mais intuitivas, 5{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J}=550\,\mu\mathrm{J}.
Como checagem rápida, posso somar as energias individuais U_i=\tfrac{1}{2}C_iV^2: para 6\,\mu\mathrm{F} 3{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{J}, para 3\,\mu\mathrm{F} 1{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J}, para 2\,\mu\mathrm{F} 1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{J}; soma =5{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J}, mesmo resultado — ótimo!

Passo 8

Resumo rápido (pra te acalmar antes da resposta final): já temos para cada capacitor V=10\,\mathrm{V} e cargas 60\,\mu\mathrm{C}, 30\,\mu\mathrm{C}, 20\,\mu\mathrm{C}; carga total 110\,\mu\mathrm{C}; C_{\text{eq}}=11\,\mu\mathrm{F}; energia 5{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J} (ou 550\,\mu\mathrm{J}). Você mandou bem chegando até aqui — isso cai fácil na prova se lembrar dessas regras de paralelo!

Resposta

a) V_1=V_2=V_3=10\,\mathrm{V}; q_1=60\,\mu\mathrm{C}, q_2=30\,\mu\mathrm{C}, q_3=20\,\mu\mathrm{C}.
b) q_{\text{total}}=110\,\mu\mathrm{C}.
c) C_{\text{eq}}=11\,\mu\mathrm{F}.
d) U=5{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{J} (ou 550\,\mu\mathrm{J}).

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