Seja uma superfície concava, cujo o raio de curvatura é de 0,5 \mathrm{~m}, e que separa um meio de índice de refração 1,2 de outro meio de índice de refração 1,6 . Determine (a) as distâncias focais, (b) a natureza da imagem (se é real ou virtual, a que distância está situada do vértice da superfície, se é invertida ou não, a ampliação lateral e se é maior ou menor que o objeto), (c) se o sistema é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado descreve uma superfície esférica côncava de raio R=0,5 m que separa um meio de índice n_1=1,2 (lado do objeto) de outro de índice n_2=1,6 (lado da imagem). A luz incide do meio n_1 para n_2. Vamos usar a fórmula de Gauss para superfície refratora, que relaciona objeto, imagem e curvatura:
\frac{n_2}{v} \;-\;\frac{n_1}{u} \;=\;\frac{n_2 - n_1}{R}.

Passo 2

Para encontrar as distâncias focais, consideramos objetos ou imagens no infinito. Note que, por convenção, como a superfície é côncava vista do lado do objeto, o centro de curvatura fica à esquerda e tomamos R=-0{,}5 m.

Passo 3

(a) Distância focal objeto ( f): colocamos v\to\infty, então
-\frac{n_1}{f} \;=\;\frac{n_2 - n_1}{R} \quad\Longrightarrow\quad f = -\frac{n_1\,R}{\,n_2 - n_1\,}.
Substituindo os valores,
f = -\frac{1{,}2\cdot(-0{,}5)}{1{,}6-1{,}2} = \frac{0{,}6}{0{,}4} = 1{,}5\text{ m}.
Distância focal imagem ( f'): colocamos u\to\infty, então
\frac{n_2}{f'} = \frac{n_2 - n_1}{R} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{n_2\,R}{\,n_2 - n_1\,} = \frac{1{,}6\cdot(-0{,}5)}{0{,}4} = -2\text{ m}.

Passo 4

(b) Natureza da imagem para objeto no infinito ( u\to\infty):
  • A posição da imagem é v = f' = -2 m. Como v é negativo, a imagem é virtual e forma-se a 2 m à esquerda do vértice.
  • Imagem virtual em superfície refratora é direita (não invertida).
  • A ampliação lateral é m = \frac{n_1\,u}{n_2\,v}\approx0para u\to\infty, indicando que a imagem de um objeto no infinito se reduz a um ponto (muito menor que o objeto).

Passo 5

(c) Como a distância focal imagem f' é negativa, o sistema é divergente.

Resposta

(a) f=+1{,}5 m e f'=-2 m
(b) Imagem de objeto no infinito: virtual, a 2 m à esquerda do vértice, direita (não invertida), m\approx0 (muito diminuída)
(c) sistema divergente

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