Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 \mathrm{~kW} . \mathrm{h} com uma diferença de potencial de 1000 V? Um capacitor de 2,0 \mu \mathrm{~F} e um capacitor de 4,0 \mu \mathrm{~F} são ligados em paralelo a uma fonte com uma diferença de potencial de 300 V . Calcule a energia total armazenada nos capacitores.

Passo 1

Vamos separar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pergunta 1: Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10\\ \mathrm{kW\cdot h} com uma diferença de potencial de 1000\\ \mathrm{V}?
    • Dado: energia =10\\ \mathrm{kW\cdot h}.
    • Dado: tensão V=1000\\ \mathrm{V}.
  • Pergunta 2: Dois capacitores de 2{,}0\\ \mu\mathrm{F} e 4{,}0\\ \mu\mathrm{F} são ligados em paralelo a uma fonte de 300\\ \mathrm{V}. Calcular a energia total armazenada.
    • Dado: C_1=2{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
    • Dado: C_2=4{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
    • Dado: V=300\\ \mathrm{V}.
    • Informação implícita: em paralelo, as capacitâncias somam.

Passo 2

Explicação da fórmula que liga energia armazenada em um capacitor à sua capacitância e à tensão.
  • Fórmula padrão: a energia eletrostática armazenada em um capacitor é dada por
E=\tfrac{1}{2} C V^{2},
onde
  • E é a energia em joules ( \mathrm{J}),
  • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}),
  • V é a diferença de potencial em volts ( \mathrm{V}).
  • Comentário didático: essa fórmula vem da integração do trabalho necessário para carregar o capacitor aumentando a carga de 0 até Q, sabendo que Q=CV. Não precisa decorar além desta forma prática na prova.

Passo 3

Converter a energia pedida na pergunta 1 de \mathrm{kW\cdot h} para joules, porque a fórmula usa SI (joules, volts, farads).
  • Lembrando: 1\\ \mathrm{kW}=10^{3}\\ \mathrm{W} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
  • Portanto
10\\ \mathrm{kW\cdot h}=10\times 10^{3}\\ \mathrm{W}\times 3600\\ \mathrm{s}=3{,}6\times 10^{7}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Isolar C na fórmula da energia para obter a capacitância necessária (algebra simples).
  • Partindo de
E=\tfrac{1}{2} C V^{2},
isolamos C:
C=\frac{2E}{V^{2}}.
  • Aqui E é a energia em joules e V a tensão em volts — ambos já nas unidades corretas.

Passo 5

Aplicar a fórmula para a pergunta 1 com os números convertidos.
  • Substituindo E=3{,}6\times 10^{7}\\ \mathrm{J} e V=1000\\ \mathrm{V}:
C=\frac{2\cdot 3{,}6\times 10^{7}}{(1000)^{2}}.
  • Calcule passo a passo:
    • 2\cdot 3{,}6\times 10^{7}=7{,}2\times 10^{7}.
    • (1000)^{2}=10^{6}.
    • Dividindo: C=\dfrac{7{,}2\times 10^{7}}{10^{6}}=72\\ \mathrm{F}.
  • Interpretação rápida e motivadora: 72\\ \mathrm{F} é uma capacitância enorme para padrões de capacitores comuns (por isso baterias são usadas para armazenar essa energia). Mas numericamente é essa a resposta.

Passo 6

Resolver a pergunta 2: primeiro obter a capacitância equivalente quando os capacitores estão em paralelo.
  • Regra em paralelo: as capacitâncias somam diretamente:
C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}.
  • Converter microfarads para farads:
    • C_{1}=2{,}0\\ \mu\mathrm{F}=2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • C_{2}=4{,}0\\ \mu\mathrm{F}=4{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Soma:
C_{\text{eq}}=(2{,}0+4{,}0)\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}=6{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Calcular a energia total armazenada usando a mesma fórmula \,E=\tfrac{1}{2}CV^{2}\, com C_{\text{eq}} e V=300\\ \mathrm{V}.
  • Substituindo:
E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\times 10^{-6}\cdot (300)^{2}.
  • Calcule passo a passo:
    • (300)^{2}=90\,000.
    • \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\times 10^{-6}=3{,}0\times 10^{-6}.
    • Multiplicando: E_{\text{total}}=3{,}0\times 10^{-6}\cdot 90\,000=3{,}0\times 9{,}0\times 10^{-6+4}.
    • Mais direto: 3{,}0\times 10^{-6}\times 90\,000=3{,}0\times 90\times 10^{-6+3}=270\times 10^{-3}=0{,}27\\ \mathrm{J}.
  • Resultado: E_{\text{total}}=0{,}27\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Verificação por soma das energias individuais (útil para entender e checar contas).
  • Energia no capacitor de 2{,}0\\ \mu\mathrm{F}:
E_{1}=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\times 10^{-6}\cdot 300^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\times 10^{-6}\cdot 90\,000=0{,}09\\ \mathrm{J}.
  • Energia no capacitor de 4{,}0\\ \mu\mathrm{F}:
E_{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\times 10^{-6}\cdot 300^{2}=0{,}18\\ \mathrm{J}.
  • Soma: E_{1}+E_{2}=0{,}09+0{,}18=0{,}27\\ \mathrm{J}, que confere com E_{\text{total}}.

Resposta

72\\ \mathrm{F}
0,27\\ \mathrm{J}

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