1. (Valor: 3.0) o potencial elétrico na superfície de uma esfera de raio R é dado por
V(r=R, \theta)=V_{0} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)
onde V_{0} é uma constante e \theta é ângulo polar em coordenadas esféricas. Utilizando a solução da equação de Laplace, com simetria azimutal, nestas coordenadas
V(r, \theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l} r^{\prime}+\frac{B_{l}}{r^{l+1}}\right] P_{l}(\cos \theta)
(a) Calcule o potencial elétrico.
(b) Calcule o vetor campo elétrico dentro da esfera (r<R).
Dados: Polinômios de Legendre: \quad P_{0}(\cos \theta)=1, \quad P_{1}(\cos \theta)=\cos (\theta) e P_{2}(\cos \theta)=\frac{1}{2}\left(3 \cos ^{2}(\theta)-1\right); \cos (2 a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \operatorname{sen}^{2}(a) ; gradiente em coord. esféricas: \nabla V(r, \theta)=\left(\frac{\partial}{\partial r} \hat{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta}\right) V(r, \theta).

Passo 1

O enunciado dá a condição de contorno na superfície r=R:
V(r=R,\theta)=V_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right),
onde V_{0} é constante e \theta é o ângulo polar. Também é fornecida a forma geral da solução da equação de Laplace com simetria azimutal:
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l} r^{l}+\frac{B_{l}}{r^{\,l+1}}\right]P_{l}(\cos\theta).
Fornecem-se ainda os primeiros polinômios de Legendre:
P_{0}(\cos\theta)=1,\qquad P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta,\qquad P_{2}(\cos\theta)=\frac{1}{2}\big(3\cos^{2}\theta-1\big),
a identidade trigonométrica \cos(2a)=1-2\operatorname{sen}^{2}a e a expressão para o gradiente em coordenadas esféricas:
\nabla V(r,\theta)=\hat{r}\,\frac{\partial V}{\partial r}+\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Perguntas pedidas:
(a) Calcular o potencial elétrico V(r,\theta) para r<R (dentro da esfera).
(b) Calcular o vetor campo elétrico \mathbf{E} dentro da esfera (r<R).

Passo 2

Primeiro vamos escrever a condição de contorno numa forma mais simples, usando trigonometria. Usando
\cos(2a)=1-2\operatorname{sen}^{2}a
com a=\tfrac{\theta}{2} obtemos
\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1-\cos\theta}{2}.
Logo a condição na superfície fica
V(R,\theta)=V_{0}\frac{1-\cos\theta}{2}=\frac{V_{0}}{2}-\frac{V_{0}}{2}\cos\theta.
Isto mostra que a função de contorno é combinação linear dos polinômios de Legendre P_{0}(\cos\theta)=1 e P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta.

Passo 3

Explico por que a solução interna tem uma forma simples: a solução geral dada
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l} r^{l}+\frac{B_{l}}{r^{\,l+1}}\right]P_{l}(\cos\theta)
é a série em modos l (cada modo é proporcional a P_{l}(\cos\theta)). Para a região interna r<R devemos exigir que V(r,\theta) seja finito em r=0. Os termos \dfrac{B_{l}}{r^{\,l+1}} divergem quando r\to 0 para qualquer l, então para a solução física dentro da esfera devemos ter
B_{l}=0\quad\text{para todo }l.
Portanto, a solução dentro da esfera reduz-se a
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}A_{l}\,r^{l}P_{l}(\cos\theta).
Na superfície r=R esta soma deve igualar a função dada por \dfrac{V_{0}}{2}-\dfrac{V_{0}}{2}\cos\theta. Como essa função é uma combinação apenas de P_{0} e P_{1}, todos os coeficientes A_{l} com l\ge 2 serão zero.

Passo 4

Então só precisamos dos termos l=0 e l=1. Escrevemos explicitamente:
V(r,\theta)=A_{0}r^{0}P_{0}(\cos\theta)+A_{1}r^{1}P_{1}(\cos\theta)=A_{0}+A_{1}r\cos\theta.
Aplicando a condição de contorno em r=R:
V(R,\theta)=A_{0}+A_{1}R\cos\theta=\frac{V_{0}}{2}-\frac{V_{0}}{2}\cos\theta.
Comparando coeficientes do termo constante e do termo em \cos\theta obtemos duas equações:
A_{0}=\frac{V_{0}}{2}, \qquad A_{1}R=-\frac{V_{0}}{2}.
Da segunda segue
A_{1}=-\frac{V_{0}}{2R}.

Passo 5

Substituindo A_{0} e A_{1} na expressão de V(r,\theta) obtemos o potencial dentro da esfera:
V(r,\theta)=\frac{V_{0}}{2}-\frac{V_{0}}{2R}\,r\cos\theta, \qquad (r<R).
Aqui terminei a parte (a): a série reduziu-se a termos de ordem l=0,1 por causa da forma da contorno.

Passo 6

Agora vamos calcular o campo elétrico. Lembrando que
\mathbf{E}=-\nabla V,
e que em coordenadas esféricas com simetria azimutal
\nabla V=\hat{r}\,\frac{\partial V}{\partial r}+\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Portanto
\mathbf{E}=-\hat{r}\,\frac{\partial V}{\partial r}-\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}.

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais da expressão encontrada para V(r,\theta):
V(r,\theta)=\frac{V_{0}}{2}-\frac{V_{0}}{2R}\,r\cos\theta.
Derivada em relação a r:
\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{V_{0}}{2R}\cos\theta.
Derivada em relação a \theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta}=-\frac{V_{0}}{2R}\,r(-\sin\theta)=\frac{V_{0}}{2R}\,r\sin\theta.
Logo
\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{V_{0}}{2R}\sin\theta.

Passo 8

Substituindo essas derivadas na fórmula de \mathbf{E}:
\mathbf{E}=-\hat{r}\left(-\frac{V_{0}}{2R}\cos\theta\right)-\hat{\theta}\left(\frac{V_{0}}{2R}\sin\theta\right).
Simplificando os sinais:
\mathbf{E}=\frac{V_{0}}{2R}\cos\theta\,\hat{r}-\frac{V_{0}}{2R}\sin\theta\,\hat{\theta}, \qquad (r<R).
Isto conclui a parte (b): o campo dentro da esfera tem componentes independentes de r (neste caso) e foi obtido diretamente do gradiente do potencial que determinamos.

Resposta

(a) \displaystyle V(r,\theta)=\frac{V_{0}}{2}-\frac{V_{0}}{2R}\,r\cos\theta,\quad (r<R).
(b) \displaystyle \mathbf{E}(r,\theta)=\frac{V_{0}}{2R}\cos\theta\,\hat{r}-\frac{V_{0}}{2R}\sin\theta\,\hat{\theta},\quad (r<R).

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