- (Valor: 3.0) o potencial elétrico na superfície de uma esfera de raio
é dado por
onde
é uma constante e
é ângulo polar em coordenadas esféricas. Utilizando a solução da equação de Laplace, com simetria azimutal, nestas coordenadas
(a) Calcule o potencial elétrico.
(b) Calcule o vetor campo elétrico dentro da esfera
.
Dados: Polinômios de Legendre:
e
;
gradiente em coord. esféricas:
.
(b) Calcule o vetor campo elétrico dentro da esfera
Passo 1
O enunciado dá a condição de contorno na superfície
:
onde
é constante e
é o ângulo polar. Também é fornecida a forma geral da solução da equação de Laplace com simetria azimutal:
Fornecem-se ainda os primeiros polinômios de Legendre:
a identidade trigonométrica
e a expressão para o gradiente em coordenadas esféricas:
Perguntas pedidas:
(a) Calcular o potencial elétrico para
(dentro da esfera).
(b) Calcular o vetor campo elétrico dentro da esfera
.
(a) Calcular o potencial elétrico
(b) Calcular o vetor campo elétrico
Passo 2
Primeiro vamos escrever a condição de contorno numa forma mais simples, usando trigonometria. Usando
com
obtemos
Logo a condição na superfície fica
Isto mostra que a função de contorno é combinação linear dos polinômios de Legendre
e
.
Passo 3
Explico por que a solução interna tem uma forma simples: a solução geral dada
é a série em modos
(cada modo é proporcional a
). Para a região interna
devemos exigir que
seja finito em
. Os termos
divergem quando
para qualquer
, então para a solução física dentro da esfera devemos ter
Portanto, a solução dentro da esfera reduz-se a
Na superfície
esta soma deve igualar a função dada por
. Como essa função é uma combinação apenas de
e
, todos os coeficientes
com
serão zero.
Passo 4
Então só precisamos dos termos
e
. Escrevemos explicitamente:
Aplicando a condição de contorno em
:
Comparando coeficientes do termo constante e do termo em
obtemos duas equações:
Da segunda segue
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
obtemos o potencial dentro da esfera:
Aqui terminei a parte (a): a série reduziu-se a termos de ordem
por causa da forma da contorno.
Passo 6
Agora vamos calcular o campo elétrico. Lembrando que
e que em coordenadas esféricas com simetria azimutal
Portanto
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais da expressão encontrada para
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Logo
Passo 8
Substituindo essas derivadas na fórmula de
:
Simplificando os sinais:
Isto conclui a parte (b): o campo dentro da esfera tem componentes independentes de
(neste caso) e foi obtido diretamente do gradiente do potencial que determinamos.
Resposta
(a)
(b)
(b)