Considere a função:
Identifique o tipo de superfície.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para identificar o tipo de superfície representada por essa equação.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A equação relaciona
, e de forma polinomial quadrática em e e linear em . - Não há termos mistos como
, ou . - Não há termos lineares em
ou (ou seja, coeficiente de e é zero).
A partir disso devemos classificar a superfície (por exemplo: plano, esfera, elipsoide, paraboloide, hiperbolóide, etc.) e, se for um paraboloide, dizer sua orientação, vértice e demais características.
Passo 2
Vamos relembrar — de forma simples — como reconhecer alguns tipos comuns de superfícies quadráticas (quadricas):
- Se a equação tem termos
e com o mesmo sinal e aparece apenas linearmente (como alguma coisa), frequentemente temos um paraboloide (elíptico) quando os quadrados têm sinal igual. - Se os coeficientes de
e têm sinais opostas aparece um paraboloide hiperbólico (sela). - Se os quadrados de
aparecem todos com sinais iguais e sem termos lineares, é elipsoide; se dois têm um sinal e o outro sinal oposto pode dar hiperbolóide, etc.
Aqui o ponto prático para a prova: observe os sinais dos termos quadráticos eme e se está isolado (como expressão). Isso já dá uma pista forte.
Passo 3
Reescrevemos a equação para destacá-la:
Ou equivalentemente
Isso mostra que
aparece com coeficiente negativo do lado direito (ou seja,
é igual a uma constante menos a soma dos quadrados).
Passo 4
Interpretação básica da forma obtida: equações do tipo
com
representam paraboloides elípticos cujo eixo de simetria é o eixo
. Se o sinal de
for positivo e aparece com um menos, a parábola abre para baixo (no sentido negativo de
). No nosso caso temos
e
, logo é exatamente dessa forma com abertura para baixo.
Passo 5
Localizando o vértice e o eixo:
- O vértice é o ponto onde
e , portanto substituindo na equação obtemos
Logo o vértice é
.
- O eixo de simetria é a reta perpendicular ao plano
passando pelo vértice, ou seja, o eixo que passa por (mais precisamente a reta ).
Passo 6
Analisando secções horizontais (planos
constante) para entender a forma:
Fixe um valor . Da equação temos
Fixe um valor
- Se
isso é a equação de um círculo de raio no plano . - Se
temos apenas o ponto . - Se
não há pontos reais (secção vazia).
Isso mostra que as seções horizontais são círculos cujo raio decresce quandoaumenta até ; para não há pontos — portanto a superfície fica inteira abaixo de .
Passo 7
Analisando secções verticais (por exemplo planos
ou
) para ver as parábolas:
- Em
a equação vira
que é uma parábola em
-plano com vértice em
(no eixo
) que abre para baixo. Mesma coisa para
(parábola em
-plano). Portanto, verticalmente a superfície é formada por parábolas (perfil parabólico) — é isso que justifica o nome “paraboloide”.
Passo 8
Resumo das propriedades que confirmam a classificação:
- Termos quadráticos em
e com o mesmo sinal (ambos negativos quando escritos como ). -
aparece isolado em forma linear (é a variável dependente). - Seções horizontais são círculos (logo “elípticas” no sentido geral; aqui são círculos porque os coeficientes de
e são iguais). - Seções verticais são parábolas.
Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide elíptico (mais especificamente, um paraboloide elíptico voltado para baixo) com vértice em.
Passo 9
Dica prática para a prova (como reconhecer rápido): se tiver algo como
e ambos os quadrados têm o mesmo sinal, pense em paraboloide elíptico; o sinal decide se abre para cima ou para baixo. Se os quadrados têm sinais opostos, pense em paraboloide hiperbólico (sela).
Resposta
Paraboloide elíptico aberto para baixo, com vértice em
.