Considere a função:
z=4-x^{2}-y^{2}
Identifique o tipo de superfície.

Passo 1

O enunciado dá a função
z=4-x^{2}-y^{2}
e pede para identificar o tipo de superfície representada por essa equação.
Informações importantes que temos:
  • A equação relaciona x, y e z de forma polinomial quadrática em x e y e linear em z.
  • Não há termos mistos como xy, xz ou yz.
  • Não há termos lineares em x ou y (ou seja, coeficiente de x e y é zero).
    A partir disso devemos classificar a superfície (por exemplo: plano, esfera, elipsoide, paraboloide, hiperbolóide, etc.) e, se for um paraboloide, dizer sua orientação, vértice e demais características.

Passo 2

Vamos relembrar — de forma simples — como reconhecer alguns tipos comuns de superfícies quadráticas (quadricas):
  • Se a equação tem termos x^{2} e y^{2} com o mesmo sinal e z aparece apenas linearmente (como z= alguma coisa), frequentemente temos um paraboloide (elíptico) quando os quadrados têm sinal igual.
  • Se os coeficientes de x^{2} e y^{2} têm sinais opostas aparece um paraboloide hiperbólico (sela).
  • Se os quadrados de x,y,z aparecem todos com sinais iguais e sem termos lineares, é elipsoide; se dois têm um sinal e o outro sinal oposto pode dar hiperbolóide, etc.
    Aqui o ponto prático para a prova: observe os sinais dos termos quadráticos em x e y e se z está isolado (como z= expressão). Isso já dá uma pista forte.

Passo 3

Reescrevemos a equação para destacá-la:
z-4=-(x^{2}+y^{2}).
Ou equivalentemente
-(x^{2}+y^{2})=z-4.
Isso mostra que x^{2}+y^{2} aparece com coeficiente negativo do lado direito (ou seja, z é igual a uma constante menos a soma dos quadrados).

Passo 4

Interpretação básica da forma obtida: equações do tipo
z = a - b\,(x^{2}+y^{2})
com b>0 representam paraboloides elípticos cujo eixo de simetria é o eixo z. Se o sinal de b for positivo e aparece com um menos, a parábola abre para baixo (no sentido negativo de z). No nosso caso temos a=4 e b=1, logo é exatamente dessa forma com abertura para baixo.

Passo 5

Localizando o vértice e o eixo:
  • O vértice é o ponto onde x=0 e y=0, portanto substituindo na equação obtemos
z=4-0-0=4.
Logo o vértice é (0,0,4).
  • O eixo de simetria é a reta perpendicular ao plano xy passando pelo vértice, ou seja, o eixo z que passa por (0,0,4) (mais precisamente a reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}).

Passo 6

Analisando secções horizontais (planos z= constante) para entender a forma:
Fixe um valor z=c. Da equação temos
x^{2}+y^{2}=4-c.
  • Se 4-c>0 isso é a equação de um círculo de raio \sqrt{4-c} no plano z=c.
  • Se 4-c=0 temos apenas o ponto (0,0,c).
  • Se 4-c<0 não há pontos reais (secção vazia).
    Isso mostra que as seções horizontais são círculos cujo raio decresce quando z aumenta até z=4; para z>4 não há pontos — portanto a superfície fica inteira abaixo de z=4.

Passo 7

Analisando secções verticais (por exemplo planos y=0 ou x=0) para ver as parábolas:
  • Em y=0 a equação vira
z=4-x^{2},
que é uma parábola em xz-plano com vértice em (0,4) (no eixo z) que abre para baixo. Mesma coisa para x=0 (parábola em yz-plano). Portanto, verticalmente a superfície é formada por parábolas (perfil parabólico) — é isso que justifica o nome “paraboloide”.

Passo 8

Resumo das propriedades que confirmam a classificação:
  • Termos quadráticos em x e y com o mesmo sinal (ambos negativos quando escritos como z-4=-(x^{2}+y^{2})).
  • z aparece isolado em forma linear (é a variável dependente).
  • Seções horizontais são círculos (logo “elípticas” no sentido geral; aqui são círculos porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais).
  • Seções verticais são parábolas.
    Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide elíptico (mais especificamente, um paraboloide elíptico voltado para baixo) com vértice em (0,0,4).

Passo 9

Dica prática para a prova (como reconhecer rápido): se tiver algo como z = \text{const} \pm (\text{quadrados em }x,y) e ambos os quadrados têm o mesmo sinal, pense em paraboloide elíptico; o sinal decide se abre para cima ou para baixo. Se os quadrados têm sinais opostos, pense em paraboloide hiperbólico (sela).

Resposta

Paraboloide elíptico aberto para baixo, com vértice em (0,0,4).

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