Determine o domínio das seguintes funções e descreva geometricamente a região:
g(x, y)=\ln (x-y)

Passo 1

O enunciado fornece a função g(x,y)=\ln(x-y) e pede duas coisas: determinar o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de pontos (x,y) para os quais g está definida) e descrever geometricamente essa região no plano.

Passo 2

Lembra do que significa a função logaritmo natural em valores reais: a função \ln(t) só está definida para argumentos t estritamente positivos. Isso vem da definição do logaritmo real — não existe \ln(t) real se t \le 0. Exemplos rápidos para fixar ideia: \ln(1)=0, \ln(e)=1; mas \ln(0) e \ln(-1) não são números reais.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, o argumento do logaritmo é x-y. Então a condição para g(x,y) ser definida é
x-y>0.
Isto é, devemos exigir que a diferença x-y seja positiva.

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade de forma mais intuitiva, temos
x-y>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y<x.
Portanto o domínio pode ser escrito em notação de conjuntos como
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}
ou equivalentemente
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y<x\}.

Passo 5

Agora a interpretação geométrica: a reta \,y=x (aquelas bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes) divide o plano em duas metades. A condição y<x seleciona o semiplano estritamente abaixo dessa reta (isto é, todos os pontos cuja coordenada y é menor que a coordenada x). A reta \,y=x é a fronteira e não faz parte do domínio, porque nela x-y=0 e \ln(0) não existe. O semiplano é aberto, ilimitado e convexo.

Passo 6

Para fixar com exemplos: o ponto (1,0) pertence ao domínio porque 1-0=1>0 e \ln(1)=0. O ponto (0,1) não pertence porque 0-1=-1<0 e \ln(-1) não é real. O ponto (2,2) está sobre a fronteira ( 2-2=0) e portanto também não pertence ao domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}
Semiplano aberto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y<x\}: todos os pontos estritamente abaixo da reta \,y=x (reta excluída).

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