Determine o domínio das seguintes funções e descreva geometricamente a região:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas: determinar o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de pontos
para os quais
está definida) e descrever geometricamente essa região no plano.
Passo 2
Lembra do que significa a função logaritmo natural em valores reais: a função
só está definida para argumentos
estritamente positivos. Isso vem da definição do logaritmo real — não existe
real se
. Exemplos rápidos para fixar ideia:
,
; mas
e
não são números reais.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, o argumento do logaritmo é
. Então a condição para
ser definida é
Isto é, devemos exigir que a diferença
seja positiva.
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade de forma mais intuitiva, temos
Portanto o domínio pode ser escrito em notação de conjuntos como
ou equivalentemente
Passo 5
Agora a interpretação geométrica: a reta
(aquelas bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes) divide o plano em duas metades. A condição
seleciona o semiplano estritamente abaixo dessa reta (isto é, todos os pontos cuja coordenada
é menor que a coordenada
). A reta
é a fronteira e não faz parte do domínio, porque nela
e
não existe. O semiplano é aberto, ilimitado e convexo.
Passo 6
Para fixar com exemplos: o ponto
pertence ao domínio porque
e
. O ponto
não pertence porque
e
não é real. O ponto
está sobre a fronteira (
) e portanto também não pertence ao domínio.
Resposta
Semiplano aberto