Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as armaduras têm área de 0,350 m 2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60 , qual é a nova capacitância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um capacitor de placas paralelas com dielétrico de ar, cuja capacitância é de 51,3 , pF. Temos duas partes:
a) Com uma área das placas de 0,350 , m^2, precisamos encontrar a distância entre as placas.
b) Se colocarmos um material com constante dielétrica $ \kappa = 5,60 $ entre as placas, qual será a nova capacitância.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da capacitância de um capacitor de placas paralelas e entender como a área das placas, a distância entre elas e a constante dielétrica influenciam a capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância para placas paralelas:
C = kappa cdot varepsilon0 cdot Ad
Onde:
  • $ C $ é a capacitância,
  • $ \kappa $ é a constante dielétrica do material entre as placas,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ( C ),
  • $ A $ é a área das placas,
  • $ d $ é a distância entre as placas.
No caso inicial, o dielétrico é o ar, que tem $ \kappa $ aproximadamente igual a 1. Vamos usar essa fórmula para encontrar a distância $ d $.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver para $ d $:
d
Sabemos que $ \kappa = 1 $, $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $, $ A = 0,350 , m^2 $, e $ C = 51,3 , pF = 51,3 \times 10^{-12} , F $.

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
d = 1 cdot 8,85 times 10^-12 , F/m cdot 0,350 , m^251,3 times 10^-12 , F
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos $ 8,85 \times 10^{-12} $ por $ 0,350 $:
8,85 times 10^-12
Agora, dividimos esse resultado por $ 51,3 \times 10^{-12} $:
0,350

Passo 6

Convertendo metros para milímetros para facilitar a visualização:
0,0603 , m = 60,3 , mm

Passo 7

Agora, para a parte (b), quando inserimos um material com constante dielétrica $ \kappa = 5,60 $, a nova capacitância $ C’ $ pode ser calculada pela mesma fórmula:
kappa = 5,60
Sabemos que já encontramos $ d = 0,0603 , m $.

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
C' = 5,60 cdot 8,85 times 10^-12 , F/m cdot 0,350 , m^20,0603 , m
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 9

Primeiro, calculamos $ \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} $:
varepsilon0 cdot Ad
Agora, multiplicamos por $ \kappa = 5,60 $:
8,85 times 10^-12 , F/m cdot 0,3500,0603 approx 8,85 times 10^-12 cdot 5,8 approx 5,133 times 10^-11 , F

Resposta

a) A separação entre as armaduras é aproximadamente 60,3 , mm.
b) A nova capacitância, com o material dielétrico, é 287,3 , pF.

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