Um capacitor de capacitância C=1000 \mu F\left(1,0 \mu \mathrm{~F}=10^{-6} \mathrm{~F}\right) está totalmente carregado com uma carga q_{0}=\varepsilon C e com uma energia total armazenada igual a U_{0}. No instante
t=0, o capacitor começa a descarregar através de um resistor de resistência R=10 \Omega e constante de tempo \tau=R C. Calcule a constante de tempo do circuito. Em qual instante t^{\prime} o capacitor terá metade de sua energia inicial U_{0} ? Considere \ln (2) \approx 0,69.
Considere: q(t)=q_{0} \cdot e^{-t / \tau}, e a energia armazenada no capacitor como U=\frac{q^{2}}{2 C}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC em que um capacitor de capacitância C=1000\,\mu F (ou seja, 1000\times10^{-6}\,F) está inicialmente carregado com carga q_{0}=\varepsilon C e energia U_{0}. No instante t=0 ele começa a descarregar por um resistor R=10\,\Omega. Precisamos (1) calcular a constante de tempo \tau=R\,C e (2) achar o instante t' em que a energia armazenada cai para metade de U_{0}, usando
q(t)=q_{0}e^{-t/\tau},
U(t)=\frac{q(t)^{2}}{2C}.

Passo 2

Para achar \tau convertemos primeiro a capacitância:
C=1000\,\mu F=1000\times10^{-6}\,F=10^{-3}\,F.
Então
\tau=R\,C=10\,\Omega\times10^{-3}\,F=10^{-2}\,s.

Passo 3

A energia em função do tempo é
U(t) =\frac{q(t)^{2}}{2C} =\frac{\bigl(q_{0}e^{-t/\tau}\bigr)^{2}}{2C} =\frac{q_{0}^{2}}{2C}\,e^{-2t/\tau} =U_{0}\,e^{-2t/\tau}.
Queremos U(t')=U_{0}/2. Logo,
\frac{U_{0}}{2} =U_{0}e^{-2t'/\tau} \quad\Longrightarrow\quad \frac12=e^{-2t'/\tau} \quad\Longrightarrow\quad -2t'/\tau=\ln\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2,
portanto
t'=\frac{\tau}{2}\,\ln2 =\frac{10^{-2}}{2}\times0,69 =3,45\times10^{-3}\,s.

Resposta

\tau=10^{-2}\,s t'=3,45\times10^{-3}\,s

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