Uma casca esférica não-condutora, com um raio interno de
e um raio externo de
, possui uma distribuição de cargas não-homogênea. A densidade volumétrica de carga
é a carga por unidade de volume, medida em coulombs por metro cúbico. No caso dessa casca,
, onde
é a distância em metros a partir do centro da casca e
. Qual é a carga total da casca? Qual o módulo do campo elétrico gerado pela esfera à uma distância
do centro da casca?
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica não-condutora com raio interno
e raio externo
, contendo carga distribuída segundo
Queremos (a) a carga total
da casca e (b) o módulo do campo elétrico a
do centro. Vamos usar integração para
e a lei de Gauss para
.
Passo 2
Para achar a carga total usamos
e em coordenadas esféricas
. Logo
e
Passo 3
Calculando a integral
e usando
,
, temos
Passo 4
Para
estamos fora da casca, então por simetria esférica e lei de Gauss
com
.
Passo 5
Substituindo
e
,
Resposta
Carga total da casca:
Módulo do campo em :
Módulo do campo em