Uma casca esférica não-condutora, com um raio interno de 2,0 \mathrm{~cm} e um raio externo de 4,0 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição de cargas não-homogênea. A densidade volumétrica de carga \rho(r) é a carga por unidade de volume, medida em coulombs por metro cúbico. No caso dessa casca, \rho(r)=A / r, onde r é a distância em metros a partir do centro da casca e A=1,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\left(1,0 \mu \mathrm{C}=1,0 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}\right). Qual é a carga total da casca? Qual o módulo do campo elétrico gerado pela esfera à uma distância r=10,0 \mathrm{~cm} do centro da casca?
\text { Considere: } \int_{a}^{b} r d r=\frac{r_{b}^{2}-r_{a}^{2}}{2}, d q=\rho(r) d V \text { e } V=\frac{4 \pi r^{3}}{3}

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica não-condutora com raio interno r_{1}=2{,}0\text{ cm} e raio externo r_{2}=4{,}0\text{ cm}, contendo carga distribuída segundo
\rho(r)=\frac{A}{r},\quad A=1{,}0\;\mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=1{,}0\times10^{-6}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Queremos (a) a carga total Q da casca e (b) o módulo do campo elétrico a r=10{,}0\text{ cm} do centro. Vamos usar integração para Q e a lei de Gauss para E.

Passo 2

Para achar a carga total usamos
Q=\int_{\text{volume}}\rho(r)\,dV
e em coordenadas esféricas dV=4\pi r^{2}dr. Logo
dq=\rho(r)\,dV=\frac{A}{r}\,4\pi r^{2}dr=4\pi A\,r\,dr
e
Q=4\pi A\int_{r_{1}}^{r_{2}}r\,dr.

Passo 3

Calculando a integral
\int_{r_{1}}^{r_{2}}r\,dr=\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2}
e usando r_{1}=0{,}02\mathrm{m}, r_{2}=0{,}04\mathrm{m}, temos
Q=4\pi A\cdot\frac{0{,}04^{2}-0{,}02^{2}}{2} =4\pi\,(1{,}0\times10^{-6})\cdot\frac{0{,}0016-0{,}0004}{2} =4\pi\times10^{-6}\times0{,}0006 \approx7{,}54\times10^{-9}\mathrm{C}.

Passo 4

Para r=10{,}0\text{ cm}=0{,}10\mathrm{m} estamos fora da casca, então por simetria esférica e lei de Gauss
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}},
com \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\mathrm{F/m}.

Passo 5

Substituindo Q\approx7{,}54\times10^{-9}\mathrm{C} e r=0{,}10\mathrm{m},
E(0{,}10)=\frac{1}{4\pi(8{,}85\times10^{-12})}\;\frac{7{,}54\times10^{-9}}{(0{,}10)^{2}} \approx6,78\times10^{3}\mathrm{N/C}.

Resposta

Carga total da casca: Q\approx7,54\times10^{-9}\mathrm{C}.
Módulo do campo em r=10{,}0\text{ cm}: E\approx6,78\times10^{3}\mathrm{N/C}.

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