Uma esfera sólida não condutora de raio R tem carga total Q que é distribuído de acordo com \rho(r)=\alpha r, onde \rho é a carga por unidade de volume \left(C / m^{3}\right) e \alpha é uma constante. (a) Determine \alpha em termos da carga Q. Quais são as unidades de \alpha no sistema internacional? (b) Determine o campo elétrico para pontos fora da esfera (r>R). (c) Determine o campo elétrico para pontos dentro da esfera (r<R). (d) Esboce uma figura do módulo do campo elétrico como função de $r.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga \rho(r)=\alpha\,r e carga total Q. O conteúdo principal é integrar para obter Q em função de \alpha e usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E(r) dentro e fora da esfera, além de esboçar E(r).
Passo 2
Para determinar \alpha em termos de Q, integramos a densidade sobre o volume da esfera:
O esboço de \bigl|E(r)\bigr| versus r é:
– Para 0\le r\le R: aumenta como r^{2}, partindo de zero até \displaystyle E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}.
– Para r\ge R: decai como 1/r^{2}, seguindo \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Resposta
(a) \displaystyle \alpha = \frac{Q}{\pi R^{4}}, unidades \mathrm{C/m^{4}}.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}\quad(r>R).
(c) \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{4}}\;r^{2}\quad(r<R).
(d) Gráfico: cresce como r^{2} até r=R e depois decai como 1/r^{2}.