Uma esfera sólida não condutora de raio R tem carga total Q que é distribuído de acordo com \rho(r)=\alpha r, onde \rho é a carga por unidade de volume \left(C / m^{3}\right) e \alpha é uma constante. (a) Determine \alpha em termos da carga Q. Quais são as unidades de \alpha no sistema internacional? (b) Determine o campo elétrico para pontos fora da esfera (r>R). (c) Determine o campo elétrico para pontos dentro da esfera (r<R). (d) Esboce uma figura do módulo do campo elétrico como função de $r.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga \rho(r)=\alpha\,r e carga total Q. O conteúdo principal é integrar para obter Q em função de \alpha e usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E(r) dentro e fora da esfera, além de esboçar E(r).

Passo 2

Para determinar \alpha em termos de Q, integramos a densidade sobre o volume da esfera:
Q = \int_{0}^{R} \rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr = 4\pi\alpha \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = 4\pi\alpha \,\frac{R^{4}}{4} = \pi\alpha R^{4}
Logo,
\alpha = \frac{Q}{\pi R^{4}}.
As unidades de \alpha no SI vêm de \rho que é \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3} dividido por r que é \mathrm{m}, ou seja \alpha tem unidade
\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^{4}}.

Passo 3

Para pontos fora da esfera r>R, toda a carga Q pode ser tratada como concentrada no centro. Pela Lei de Gauss numa superfície esférica de raio r:
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}
Portanto,
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}\quad(r>R).

Passo 4

Para pontos dentro da esfera r<R, calculamos a carga contida até um raio r:
Q_{\text{int}}(r) = \int_{0}^{r}\alpha\,r'\,4\pi r'^{2}\,dr' = 4\pi\alpha \int_{0}^{r}r'^{3}\,dr' = \pi\alpha\,r^{4}.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\pi\alpha\,r^{4}}{r^{2}} = \frac{\alpha\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Substituindo \alpha = Q/(\pi R^{4}):
E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{4}}\;r^{2} \quad(r<R).

Passo 5

O esboço de \bigl|E(r)\bigr| versus r é:
– Para 0\le r\le R: aumenta como r^{2}, partindo de zero até \displaystyle E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}.
– Para r\ge R: decai como 1/r^{2}, seguindo \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha = \frac{Q}{\pi R^{4}}, unidades \mathrm{C/m^{4}}.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}\quad(r>R).
(c) \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{4}}\;r^{2}\quad(r<R).
(d) Gráfico: cresce como r^{2} até r=R e depois decai como 1/r^{2}.

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