• Um capacitor de capacitância C está descarregando através de uma resistência R .
    (a) Em termos da constante de tempo \tau=R C, em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial ?
    (b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual metade do seu valor inicial ?
    (c) Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor?

Passo 1

O enunciado trata da descarga de um capacitor de capacitância C através de uma resistência R. Definimos a constante de tempo
\tau = R\,C.
Se a carga inicial no capacitor for Q_{0} (e a tensão inicial V_{0}=Q_{0}/C), as leis de descarga em regime linear são
Q(t)=Q_{0}\,e^{-t/\tau},
V(t)=V_{0}\,e^{-t/\tau},
U(t)=\frac{Q(t)^{2}}{2C},
onde U(t) é a energia armazenada no capacitor em cada instante.

Passo 2

(a) Queremos o instante em que
Q(t)=\frac{Q_{0}}{2}.
Usando Q(t)=Q_{0}e^{-t/\tau}, temos
Q_{0}e^{-t/\tau}=\frac{Q_{0}}{2} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{\tau}=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2
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t=\tau\,\ln2.

Passo 3

(b) A energia no capacitor é
U(t)=\frac{Q(t)^{2}}{2C} =\frac{Q_{0}^{2}}{2C}\,e^{-2t/\tau} =U_{0}\,e^{-2t/\tau},
onde U_{0}=Q_{0}^{2}/(2C). Para U(t)=U_{0}/2 exige
e^{-2t/\tau}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad -2\frac{t}{\tau}=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\tau}{2}\,\ln2.

Passo 4

(c) A energia dissipada no resistor é a energia que sai do capacitor desde t=0 até t\to\infty. Como no final U(\infty)=0, toda a energia inicial U_{0} vai para o resistor. Assim,
E_{\text{diss}}=U_{0} =\frac{Q_{0}^{2}}{2C} =\frac12\,C\,V_{0}^{2}.

Resposta

(a) t=\tau\,\ln2.
(b) t=\tfrac{\tau}{2}\,\ln2.
(c) E_{\text{diss}}=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}=\dfrac12\,C\,V_{0}^{2}.

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