Um capacitor carregado e um indutor são ligados para formar um circuito fechado no instante t=0. Em termos do período T das oscilações resultantes, determine o tempo necessário para que as seguintes grandezas passem por um máximo pela primeira vez:
(a) UB

Passo 1

O enunciado diz que num circuito LC ideal o capacitor está totalmente carregado em t=0 (logo toda a energia está no campo elétrico) e a corrente no indutor é nula. A energia então oscila entre o capacitor e o indutor com período T. Precisamos achar o instante do primeiro máximo de
UB = tfrac12 L I^2(t), que é a energia no campo magnético do indutor.

Passo 2

Sabemos que a frequência angular da oscilação é
omega = 2piT
e que a corrente no indutor varia senoidalmente como
I(t)=Imax,sin(omega t),
já que I(0)=0. Por conservação de energia total Urm tot=tfrac12C V0^2, temos
UB(t)=tfrac12 L,I^2(t)=Urm tot,sin^2(omega t)

Passo 3

Para que UB atinja seu primeiro máximo, precisamos de
sin^2(omega t)=1
na menor t>0, isto é
omega t = pi2 Longrightarrow t = pi2omega

Passo 4

Substituindo omega = 2pi/T em t = pi/(2omega), obtemos
t = pi2cdotT2pi = T4

Resposta

t = T4 (primeiro máximo de UB)

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