O rotacional e o divergente do campo vetorial F= (2x²y², 3xyz, y²z) respectivamente: são
a)Rot F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 2xy²+3xz + y²
b)Rot =(2yz-3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 4xy²+3xz + y²
c)Rot F = (2yz-3xy, -2yz, 3yz - 4x²y) e div F = 2xy²+3xz + y²
d)Rot F=2xy²+3xz + y² e div = (2yz -3xy, 0, 3yz - 4x²y)
e)Rot F = 4xy²+3xz + y² e div = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) ​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional (ou curl) e o divergente de um campo vetorial dado por F = (2x²y², 3xyz, y²z). Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente dos conceitos de rotacional e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional é uma medida de quanto o campo vetorial gira em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de F = (F₁, F₂, F₃) é:
rot, F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos aplicar isso ao nosso F:
  • F₁ = 2x²y²
  • F₂ = 3xyz
  • F₃ = y²z
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
    partial F3partial y - partial F2partial z = partial (y²z)partial y - partial (3xyz)partial z ²
    Derivando:
    2yz - 3xy
  2. Segunda componente:
    partial F1partial z - partial F3partial x = partial (2x²y²)partial z - partial (y²z)partial x ²²²
    Derivando:
    0 - 0 = 0
  3. Terceira componente:
    partial F2partial x - partial F1partial y = partial (3xyz)partial x - partial (2x²y²)partial y ²²
    Derivando:
    3yz - 4x²y ²
Então, o rotacional de F é:
rot, F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) ²

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F. O divergente mede a taxa de expansão do campo vetorial a partir de um ponto. A fórmula para o divergente de F = (F₁, F₂, F₃) é:
div, F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Primeira derivada:
    partial F1partial x = partial (2x²y²)partial x = 4xy² ²²²
  2. Segunda derivada:
    partial F2partial y = partial (3xyz)partial y = 3xz
  3. Terceira derivada:
    partial F3partial z = partial (y²z)partial z = y² ²²
Somando tudo:
div, F = 4xy² + 3xz + y² ²²

Resposta

A alternativa correta é a b):
Rot F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 4xy² + 3xz + y²

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