O rotacional e o divergente do campo vetorial F= (2x²y², 3xyz, y²z) respectivamente: são
a)Rot F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 2xy²+3xz + y²
b)Rot =(2yz-3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 4xy²+3xz + y²
c)Rot F = (2yz-3xy, -2yz, 3yz - 4x²y) e div F = 2xy²+3xz + y²
d)Rot F=2xy²+3xz + y² e div = (2yz -3xy, 0, 3yz - 4x²y)
e)Rot F = 4xy²+3xz + y² e div = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y)
a)Rot F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 2xy²+3xz + y²
b)Rot =(2yz-3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 4xy²+3xz + y²
c)Rot F = (2yz-3xy, -2yz, 3yz - 4x²y) e div F = 2xy²+3xz + y²
d)Rot F=2xy²+3xz + y² e div = (2yz -3xy, 0, 3yz - 4x²y)
e)Rot F = 4xy²+3xz + y² e div = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional (ou curl) e o divergente de um campo vetorial dado por F = (2x²y², 3xyz, y²z). Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente dos conceitos de rotacional e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional é uma medida de quanto o campo vetorial gira em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de F = (F₁, F₂, F₃) é:
Vamos aplicar isso ao nosso F:
- F₁ = 2x²y²
- F₂ = 3xyz
- F₃ = y²z
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Primeira componente:Derivando:
-
Segunda componente:Derivando:
-
Terceira componente:Derivando:
Então, o rotacional de F é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de F. O divergente mede a taxa de expansão do campo vetorial a partir de um ponto. A fórmula para o divergente de F = (F₁, F₂, F₃) é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Somando tudo:
Resposta
A alternativa correta é a b):
Rot F = (2yz - 3xy, 0, 3yz - 4x²y) e div = 4xy² + 3xz + y²