Um capacitor esférico é formado por duas esferas de raios r_{1} e r_{2}, com o mesmo centro.
(a) Determine a capacitância desse capacitor esférico em termos de \epsilon_{0}, r_{1} e r_{2} .(1,0 \mathrm{p}) \quad \frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q d}{60^{A}}}=\frac{\epsilon_{0} A}{d}
(b) Determine a capacitância desse capacitor se inserirmos, entre suas placas, um material dielétrico de constante dielétrica \kappa, em termos de \epsilon_{0}, \kappa, r_{1} e r_{2} .(1,0 p)
c) As placas desse capacitor são mantidas a uma diferença de potencial V por meio de uma bateria. Se o dielétrico do item anterior tem uma condutividade \sigma, qual é a resistência do dielétrico em termos da capacitância do capacitor? ( 1,0 \mathrm{p} )
R=\frac{\rho L}{A}

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico formado por duas esferas coaxiais de raios r_{1} (interna) e r_{2} (externa).
(a) pede a capacitância no vácuo \epsilon_{0},
(b) pede a mesma com um dielétrico de constante \kappa entre as esferas,
(c) pede a resistência do dielétrico, de condutividade \sigma, em função da capacitância.
Nós usaremos:
  1. Lei de Gauss para obter o campo elétrico entre as esferas;
  2. relação C=Q/V e V=\int \vec E\cdot d\vec r;
  3. expressão de resistência em meios contínuos cilíndricos/esféricos, dR=\rho\,dr/A(r) com \rho=1/\sigma.

Passo 2

Campo elétrico entre as esferas (vácuo) pelo teorema de Gauss: para r_{1}<r<r_{2},
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}\,r^{2}}.
A diferença de potencial entre \,r_{1} e \,r_{2} é
V = V(r_{1}) - V(r_{2}) = \int_{r_{2}}^{r_{1}} E(r)\,dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}} \int_{r_{2}}^{r_{1}}\frac{dr}{r^{2}} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}} \Bigl(\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}\Bigr).
Assim,
C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\displaystyle \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}}\!\bigl(\frac1{r_{1}}-\frac1{r_{2}}\bigr)} = \frac{4\pi \epsilon_{0}}{\frac1{r_{1}}-\frac1{r_{2}}} = \frac{4\pi \epsilon_{0}\,r_{1}\,r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.

Passo 3

Se o espaço entre as esferas for preenchido por dielétrico de constante \kappa, basta substituir \epsilon_{0}\to\epsilon=\kappa\,\epsilon_{0}. Logo,
C = \frac{4\pi \,\kappa\,\epsilon_{0}\;r_{1}\,r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.

Passo 4

Para a resistência do dielétrico, considere a casca esférica de raios de r_{1} a r_{2}. A resistividade é \rho=1/\sigma e a área em cada raio r é A(r)=4\pi r^{2}.
Um elemento de resistência é
dR = \frac{\rho\,dr}{A(r)} = \frac{1}{\sigma}\,\frac{dr}{4\pi r^{2}}.
Integrando de r_{1} a r_{2},
R = \int_{r_{1}}^{r_{2}}dR = \frac{1}{4\pi\sigma}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr) = \frac{r_{2}-r_{1}}{4\pi\,\sigma\,r_{1}\,r_{2}}.

Passo 5

Note que
\frac{1}{C} = \frac{r_{2}-r_{1}}{4\pi\,\epsilon\,r_{1}\,r_{2}} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{r_{2}-r_{1}}{4\pi\,\sigma\,r_{1}\,r_{2}} = \frac{\epsilon}{\sigma}\,\frac{1}{C}.
Como \epsilon=\kappa\,\epsilon_{0}, tem-se
R = \frac{\kappa\,\epsilon_{0}}{\sigma\,C}.

Resposta

(a) \displaystyle C=\frac{4\pi\,\epsilon_{0}\,r_{1}\,r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.
(b) \displaystyle C=\frac{4\pi\,\kappa\,\epsilon_{0}\,r_{1}\,r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.
(c) \displaystyle R=\frac{\kappa\,\epsilon_{0}}{\sigma\,C}.

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