Um capacitor esférico é formado por duas esferas de raios
e
, com o mesmo centro.
(a) Determine a capacitância desse capacitor esférico em termos de
e
(b) Determine a capacitância desse capacitor se inserirmos, entre suas placas, um material dielétrico de constante dielétrica
, em termos de
e
c) As placas desse capacitor são mantidas a uma diferença de potencial
por meio de uma bateria. Se o dielétrico do item anterior tem uma condutividade
, qual é a resistência do dielétrico em termos da capacitância do capacitor? (
)
(a) Determine a capacitância desse capacitor esférico em termos de
(b) Determine a capacitância desse capacitor se inserirmos, entre suas placas, um material dielétrico de constante dielétrica
c) As placas desse capacitor são mantidas a uma diferença de potencial
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor esférico formado por duas esferas coaxiais de raios
(interna) e
(externa).
(a) pede a capacitância no vácuo ,
(b) pede a mesma com um dielétrico de constante entre as esferas,
(c) pede a resistência do dielétrico, de condutividade , em função da capacitância.
Nós usaremos:
(a) pede a capacitância no vácuo
(b) pede a mesma com um dielétrico de constante
(c) pede a resistência do dielétrico, de condutividade
Nós usaremos:
- Lei de Gauss para obter o campo elétrico entre as esferas;
- relação
e ; - expressão de resistência em meios contínuos cilíndricos/esféricos,
com .
Passo 2
Campo elétrico entre as esferas (vácuo) pelo teorema de Gauss: para
,
A diferença de potencial entre
e
é
Assim,
Passo 3
Se o espaço entre as esferas for preenchido por dielétrico de constante
, basta substituir
. Logo,
Passo 4
Para a resistência do dielétrico, considere a casca esférica de raios de
a
. A resistividade é
e a área em cada raio
é
.
Um elemento de resistência é
Um elemento de resistência é
Integrando de
a
,
Passo 5
Note que
Como
, tem-se
Resposta
(a)
(b)
(c)