Exercício 3. Um fio fino é dobrado em um semicírculo de raio R. Ele é feito oscilar em seu próprio plano em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto médio do fio. Encontre o comprimento do pêndulo ideal equivalente.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento L de um pêndulo simples que oscila com o mesmo período de um fio fino dobrado em semicírculo de raio R, quando este oscila em pequenas oscilações em seu próprio plano em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo ponto médio do fio.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia de um arco circular, centro de massa de um arco, teorema de Steiner e período de pequenas oscilações.

Passo 2

Como o fio é um arco de semicírculo, sua massa total é m e a densidade linear é constante. O centro de massa do arco está no eixo de simetria vertical, a uma distância
y_{\rm cm} =\frac{1}{\pi R}\int_{0}^{\pi}R\sin\theta\,(R\,d\theta) =\frac{2R}{\pi}
abaixo do ponto central do círculo (origem).

Passo 3

O eixo de oscilação passa pelo ponto médio do arco, que está na parte superior do semicírculo, a distância R acima do centro do círculo. Logo, a distância entre esse eixo e o centro de massa do arco é
d = R - \frac{2R}{\pi} = R\Bigl(1 - \frac{2}{\pi}\Bigr).

Passo 4

Primeiro achamos o momento de inércia do arco em torno do centro do círculo. Como cada elemento de massa está a distância R do centro,
I_{\rm C} =\int R^2\,dm = mR^2.
Pelo teorema de Steiner (eixo paralelo a I_C a uma distância R), o momento de inércia em torno do eixo de oscilação é
I =I_{\rm C}+mR^2 =2\,mR^2.

Passo 5

O período de pequenas oscilações de um pêndulo físico é
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}} =2\pi\sqrt{\frac{2\,mR^2}{m g\,R\bigl(1-\tfrac{2}{\pi}\bigr)}} =2\pi\sqrt{\frac{2R}{g\bigl(1-\tfrac{2}{\pi}\bigr)}}.
Igualando a T=2\pi\sqrt{L/g} do pêndulo simples, obtemos
L = \frac{I}{m\,d} =\frac{2\,mR^2}{m\,R\bigl(1-\tfrac{2}{\pi}\bigr)} =\frac{2R}{1-\tfrac{2}{\pi}} =\frac{2\pi\,R}{\pi-2}.

Resposta

L = \frac{2\pi\,R}{\pi - 2}.

Exercícios relacionados