Exercício 3. Um fio fino é dobrado em um semicírculo de raio R. Ele é feito oscilar em seu próprio plano em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto médio do fio. Encontre o comprimento do pêndulo ideal equivalente.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento
de um pêndulo simples que oscila com o mesmo período de um fio fino dobrado em semicírculo de raio
, quando este oscila em pequenas oscilações em seu próprio plano em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo ponto médio do fio.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia de um arco circular, centro de massa de um arco, teorema de Steiner e período de pequenas oscilações.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia de um arco circular, centro de massa de um arco, teorema de Steiner e período de pequenas oscilações.
Passo 2
Como o fio é um arco de semicírculo, sua massa total é
e a densidade linear é constante. O centro de massa do arco está no eixo de simetria vertical, a uma distância
abaixo do ponto central do círculo (origem).
Passo 3
O eixo de oscilação passa pelo ponto médio do arco, que está na parte superior do semicírculo, a distância
acima do centro do círculo. Logo, a distância entre esse eixo e o centro de massa do arco é
Passo 4
Primeiro achamos o momento de inércia do arco em torno do centro do círculo. Como cada elemento de massa está a distância
do centro,
Pelo teorema de Steiner (eixo paralelo a
a uma distância
), o momento de inércia em torno do eixo de oscilação é
Passo 5
O período de pequenas oscilações de um pêndulo físico é
Igualando a
do pêndulo simples, obtemos