Um capacitor esférico é formado pro dois condutores esféricos concêntricos separados pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio de 30 cm e a capacitância é igual a 200 pF. Pede-se aproximadamente: a) Qual o raio da superfície esférica externa? b) Se a ddp entre as esferas for de 38 V , qual será o módulo da carga de cada esfera?
i. a) 0,36 \mathrm{~m} ; \mathrm{b}) 7600 \mathrm{C}
ii. a) 36 m ; b) 83,6 \mathrm{C}.
iii. a) 36,01 \mathrm{~cm}; b) 7,601 \mathrm{nC}.
iv. a) 17,5 \mathrm{~cm}; b) 25,5 \mathrm{nC}.
v. a) 0,175 \mathrm{~m}; b) 2,55 \times 10^{\wedge}-8 \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico com duas cascas concêntricas separadas por vácuo. A casca interna tem raio \,r_1=30\textrm{ cm}=0,30\textrm{ m} e a capacitância vale \,C=200\textrm{ pF}=200\times10^{-12}\textrm{ F}. Precisamos determinar:
  1. O raio externo \,r_2.
  2. A carga Q em módulo, sabendo que a diferença de potencial é \Delta V=38\textrm{ V}.
O conteúdo usado será a fórmula da capacitância de um capacitor esférico em vácuo:
C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{r_1\,r_2}{r_2 - r_1},
onde \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\textrm{ F/m}.

Passo 2

Escrevendo a expressão e isolando r_2, temos
C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{r_1\,r_2}{r_2 - r_1} \quad\Longrightarrow\quad C\,(r_2 - r_1) = 4\pi\varepsilon_0\,r_1\,r_2.
Distributiva em C:
C\,r_2 - C\,r_1 = 4\pi\varepsilon_0\,r_1\,r_2 \quad\Longrightarrow\quad r_2\,(C - 4\pi\varepsilon_0\,r_1) = C\,r_1.
Logo,
r_2 = \frac{C\,r_1}{C - 4\pi\varepsilon_0\,r_1}.

Passo 3

Substituindo valores numéricos:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi\,(8,85\times10^{-12})\approx1,11265\times10^{-10}\,\mathrm{F/m},
C - 4\pi\varepsilon_0\,r_1 = 200\times10^{-12} - (1,11265\times10^{-10}\times0,30) \approx1,6662\times10^{-10}\,\mathrm F.
Então
r_2 = \frac{(200\times10^{-12})\times0,30}{1,6662\times10^{-10}} \approx0,360\textrm{ m}=36{,}0\textrm{ cm}.

Passo 4

Para a carga usamos Q = C\,\Delta V. Assim,
Q = 200\times10^{-12}\,\mathrm F \;\times\;38\,\mathrm V =7,6\times10^{-9}\,\mathrm C =7,6\textrm{ nC}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que:
a) \,r_2\approx36{,}0\textrm{ cm}
b) \,Q\approx7,6\textrm{ nC}
correspondem exatamente à alternativa (iii).

Resposta

(iii)

Exercícios relacionados