Um raio de luz näo polarizado incide em duas läminas polarizadoras. A direçäo caracteristica da primeira faz um ängulo B em relaçảo à vertical. A direçăo caracteristica da segunda é de 70^{\circ} em relaçäo à vertical. Determine o ângulo \theta para que a luz transmitida seja 20 \% da intensidade da luz incidente (2,5). Justifique detaihadamente sua resposta,

Passo 1

O enunciado diz que um feixe de luz não polarizada, com intensidade inicial I_0, incide sobre duas lâminas polarizadoras em cascata. A primeira lâmina tem seu eixo de polarização inclinado de \beta em relação à vertical, e a segunda tem seu eixo a 70^\circ da vertical. Queremos achar o ângulo relativo \theta entre as direções características dessas lâminas de modo que a intensidade transmitida seja 20\% da intensidade incidente. Para isso usaremos:
  1. O fato de que um polarizador absorve metade da intensidade de luz não polarizada.
  2. A lei de Malus para luz polarizada passando por um segundo polarizador, que diz que a intensidade transmitida é proporcional a \cos^2 do ângulo entre os eixos dos polarizadores.

Passo 2

Depois da primeira lâmina, a luz fica polarizada e sua intensidade é
I_1 = \frac{1}{2}\,I_0
pois um polarizador transmite metade da intensidade de um feixe não polarizado.

Passo 3

Se \theta for o ângulo entre o eixo da primeira e o da segunda lâmina, a segunda lâmina transmite da luz polarizada a intensidade
I_2 = I_1 \cos^2\!\bigl(\theta\bigr)\;.

Passo 4

Queremos I_2 = 0{,}20\,I_0. Substituindo I_1=\tfrac12 I_0 em I_2:
I_2 = \frac{1}{2}\,I_0 \,\cos^2(\theta) \overset{!}{=} 0{,}20\,I_0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\cos^2(\theta)=0{,}20 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2(\theta)=0{,}40.

Passo 5

Resolvendo para \theta:
\cos(\theta)=\sqrt{0{,}40}\approx 0{,}63246 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}(0{,}63246)\approx 50{,}8^\circ.

Passo 6

Como \theta é a diferença entre os eixos, temos
\theta = \bigl|\beta - 70^\circ\bigr|
portanto as soluções para \beta são
\beta = 70^\circ \pm 50{,}8^\circ,
isto é, \beta\approx 119^\circ ou \beta\approx 19{,}2^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta\approx 50{,}8^\circ.

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