Determine a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 - 4x + 3 e y = -x^2 + 2x + 3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 - 4x + 3
e
y = -x^2 + 2x + 3.
O conteúdo envolvido é cálculo de área entre duas curvas no plano. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção (onde as duas curvas se cruzam).
  2. Determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de interseção.
  3. Configurar e calcular a integral da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Vamos achar os pontos em que
x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3.
Reorganizando,
x^2 - 4x + 3 + x^2 - 2x - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x - 3)=0.
Logo, os pontos de interseção são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 3.

Passo 3

Para 0 < x < 3, comparamos
y_1 = x^2 - 4x +3 \quad\text{e}\quad y_2 = -x^2 +2x +3.
A diferença é
y_2 - y_1 = (-x^2 +2x +3) - (x^2 -4x +3) = -2x^2 +6x = -2x(x-3).
Como em 0<x<3 temos -2x(x-3)>0, isso mostra que y_2 está acima de y_1 nesse intervalo.

Passo 4

A área pedida é
\text{Área} = \int_{0}^{3}\bigl[y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}}\bigr]\,dx = \int_{0}^{3}\bigl[(-x^2+2x+3) - (x^2-4x+3)\bigr]dx.Á
Simplificando o integrando,
(-x^2+2x+3) - (x^2-4x+3) = -2x^2 +6x.

Passo 5

Calculamos a integral
\int_{0}^{3}(-2x^2 +6x)\,dx = \int_{0}^{3}(-2x^2)\,dx + \int_{0}^{3}6x\,dx.
Cada parte:
\int -2x^2\,dx = -\tfrac{2}{3}x^3, \quad \int 6x\,dx = 3x^2.
Logo, avaliando de 0 a 3:
\Bigl[-\tfrac{2}{3}x^3 + 3x^2\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 27 + 3\cdot 9\bigr) - 0 = (-18 +27) = 9.

Resposta

A área da região limitada pelas duas curvas é 9.

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