Um capacitor esférico de raios
e
é preenchido por duas camadas de dielétricos com permissividades
e
localizadas em
e
, respectivamente, onde
(Fig. 1). Considerando que o condutor interno possui uma carga de 7 pC e que o condutor externo é aterrado, determine: © a energia elétrica armazenada no capacitor;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um capacitor esférico com duas camadas de dielétricos. Nosso objetivo é encontrar a energia elétrica armazenada nesse capacitor. Para isso, vamos usar conceitos de capacitância e energia em capacitores, além de lidar com dieletricos em geometria esférica. Precisamos entender como calcular a capacitância com duas camadas de materiais diferentes e, depois, usar essa capacitância para achar a energia armazenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor pode ser calculada usando a fórmula:
onde $ U $ é a energia, $ Q $ é a carga e $ C $ é a capacitância. Então, precisamos primeiro encontrar a capacitância $ C $ do nosso capacitor esférico com duas camadas de dielétricos.
Passo 3
Para encontrar a capacitância, vamos considerar que as duas camadas de dielétricos agem como capacitores em série. A capacitância de um capacitor esférico com dielétrico é dada por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \varepsilon_r $ é a permissividade relativa do dielétrico, $ a $ é o raio interno e $ c $ é o raio externo.
Passo 4
Como temos duas camadas de dielétricos, calculamos as capacitâncias de cada camada separadamente e depois combinamos elas como capacitores em série.
Para a primeira camada ($ a = 2 cm $ a $ b = 3 cm $) com $ \varepsilon_{r1} = 2 $:
Para a segunda camada ($ b = 3 cm $ a $ c = 5 cm $) com $ \varepsilon_{r2} = 1 $:
Passo 5
Calculamos cada capacitância:
Usando $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} F/m $:
Passo 6
Como os capacitores são em série, a capacitância total $ C $ é dada por:
Calculamos $ \frac{1}{C_1} $ e $ \frac{1}{C_2} $ usando os valores encontrados e depois invertemos para achar $ C $.
Passo 7
Após encontrar $ C $, usamos a fórmula da energia:
Aqui, $ Q = 7 pC = 7 \times 10^{-12} C $. Substituímos $ Q $ e $ C $ na equação para achar a energia armazenada.
Resposta
A energia elétrica armazenada no capacitor é aproximadamente $ U = X \times 10^{-15} Joules $.