Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio a
=0.08 \mathrm{~m} e a exterior tem raio \mathrm{b}=0.19 m . Aplica-se uma diferença de potencial de \mathrm{V}= 85 V no capacitor. Qual a densidade de energia u em r=0.12 \mathrm{~m} ?
Use \epsilon_{0}=9 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} . \mathrm{m}^{2}\right).
u= \square \times 10^{-6} \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá um capacitor formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo com raios interno a=0.08\,\mathrm{m} e externo b=0.19\,\mathrm{m}. Aplica-se uma diferença de potencial \,V=85\,\mathrm{V} entre as cascas. Queremos a densidade de energia u no ponto r=0.12\,\mathrm{m}. O conteúdo físico envolve o campo elétrico de um capacitor esférico e a densidade de energia eletrostática
u=\tfrac12\,\epsilon_{0}\,E^{2}\,.

Passo 2

Para a<r<b, o campo elétrico é dado pela lei de Gauss como
E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}}\,.
Precisamos de Q, que se obtém da diferença de potencial
V=\int_{a}^{b}E(r)\,dr =\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac1a-\frac1b\Bigr)\,.
Assim,
\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}} =\frac{V}{\displaystyle\frac1a-\frac1b} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{V}{\displaystyle\frac1a-\frac1b}\,\frac1{r^{2}}\,.

Passo 3

Calculemos numericamente o fator \frac1a-\frac1b e E em r=0.12\,\mathrm{m}:
\frac1a-\frac1b =\frac1{0.08}-\frac1{0.19} =12{,}5-5{,}2632 \approx7{,}2368\\ \mathrm{m^{-1}},
E(0.12) =\frac{85}{7{,}2368}\,\frac1{(0.12)^{2}} \approx815{,}3\\ \mathrm{V/m}\,.

Passo 4

A densidade de energia eletrostática é
u=\tfrac12\,\epsilon_{0}\,E^{2} =\tfrac12\,(9\times10^{-12})\,(815{,}3)^{2} \approx2{,}99\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Resposta

2{,}99\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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