Um capacitor é formado por duas placas circulares paralelas de raio 10 cm cada. Sabendo que este capacitor é carregado a uma taxa constante por aproximadamente 0,01 s, sendo que neste intervalo de tempo o módulo do campo elétrico entre as placas vale E(t)=10^{12} t \mathrm{~N} / \mathrm{C}, determine neste intervalo de tempo o módulo do campo magnético induzido numa circunferência de raio 5 cm localizada na região entre as placas, paralela a elas e com centro no eixo que liga os centros das placas. Faça o mesmo para uma circunferência concêntrica de raio 15 cm desprezando o campo nas bordas do capacitor.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas circulares de raio a=0,10\\ \mathrm{m}, carregado de modo que, no espaço entre as placas, o campo elétrico varia como
E(t)=10^{12}\,t\quad[\mathrm{N/C}],
para 0\le t\le0,01\\ \mathrm{s}. Queremos achar, nesse intervalo, o módulo do campo magnético induzido numa circunferência de raio r=0,05\\ \mathrm{m} (caso r<a) e noutra de raio r=0,15\\ \mathrm{m} (caso r>a), ambas centradas no eixo do capacitor. Para isso, usamos a lei de Ampère–Maxwell, que relaciona o circuito magnético ao “corrente de deslocamento” entre as placas.

Passo 2

A lei de Ampère–Maxwell para uma curva fechada \mathcal{C} circular de raio r no interior do capacitor é
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}\,I_{\mathrm{disp}},
onde não há corrente de condução entre as placas ( I_{\rm cond}=0) e aparece só a corrente de deslocamento
I_{\mathrm{disp}} =\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\Phi_{E}, \quad \Phi_{E}=\int_{\Sigma}E(t)\,dA.
Pela simetria, \mathbf{B} é tangencial e de módulo constante sobre \mathcal{C}, logo \oint B\,dl= B\,(2\pi r).

Passo 3

Caso r<a, o fluxo de \mathbf{E} atravessando a superfície \Sigma de raio r é
\Phi_{E}=E(t)\,\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad I_{\mathrm{disp}} =\varepsilon_{0}\,\pi r^2\,\frac{dE}{dt}.
Como \tfrac{dE}{dt}=10^{12}\\ \mathrm{N/C\,s}, a lei de Ampère–Maxwell vira
B\,(2\pi r) =\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\pi r^2\,(10^{12}) \quad\Longrightarrow\quad B =\frac{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}{2}\;r\;(10^{12}).

Passo 4

Para r=0,05\\ \mathrm{m} temos
B(0,05) =\frac{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}{2}\;(0,05)\;(10^{12}) =\frac{1}{2}\,\frac{10^{12}}{c^{2}}\;(0,05) \approx2{,}8\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
(usando \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2} e c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).

Passo 5

Caso r>a, o fluxo de \mathbf{E} é limitado ao disco de raio a, pois fora da placa não há campo significativo. Logo
\Phi_{E}=E(t)\,\pi a^2 \quad\Longrightarrow\quad I_{\mathrm{disp}} =\varepsilon_{0}\,\pi a^2\,\frac{dE}{dt},
e a lei fica
B\,(2\pi r) =\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\pi a^2\,(10^{12}) \quad\Longrightarrow\quad B =\frac{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}{2}\;\frac{a^2}{r}\;(10^{12}).

Passo 6

Para a=0,10\\ \mathrm{m} e r=0,15\\ \mathrm{m}
B(0,15) =\frac{1}{2}\,\frac{10^{12}}{c^{2}}\;\frac{(0,10)^2}{0,15} \approx3{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

Para a circunferência de raio 5\\ \mathrm{cm}:
B\approx2{,}8\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Para a de raio 15\\ \mathrm{cm}:
B\approx3{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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