Suponha que uma força F_{2}(z)=-C / z^{2}( C constante ) atue sobre um objeto que se move ao longo do eixo-z. Determine a expressio do trabalho realizado por esta força quando o objeto se move de z_{i} a z_{f} ( z_{j} e z_{j} positivos).

Passo 1

O enunciado nos dá uma força variável ao longo do eixo- z:
F_{2}(z) = -\frac{C}{z^{2}},
e pede o trabalho realizado quando o objeto se desloca de z_{i} até z_{f}, com ambos positivos. O conteúdo é “trabalho de uma força variável” e vamos usar a integral do produto escalar F\cdot dz.

Passo 2

Pela definição de trabalho para uma força unidimensional variável, temos
W = \int_{z_{i}}^{z_{f}} F_{2}(z)\,dz.

Passo 3

Substituindo F_{2}(z) na integral:
W = \int_{z_{i}}^{z_{f}} \Bigl(-\frac{C}{z^{2}}\Bigr)\,dz.
Sabemos que \int z^{-2}\,dz = -\,z^{-1}, logo
\int -\frac{C}{z^{2}}\,dz = -C\int z^{-2}\,dz = -C\bigl(-z^{-1}\bigr) = \frac{C}{z}.

Passo 4

Avalia-mos entre os limites:
W = \left[\frac{C}{z}\right]_{z_{i}}^{z_{f}} = C\Bigl(\frac{1}{z_{f}} - \frac{1}{z_{i}}\Bigr).

Resposta

W = C\Bigl(\frac{1}{z_{f}} - \frac{1}{z_{i}}\Bigr).

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