Deseja-se projetar um capacitor de placas paralelas para armazenar 100 kJ de energia, utilizando ar como dielétrico. (a) Qual é o volume mínimo necessário entre as placas desse capacitor? (b) Suponha que você desenvolveu um dielétrico que possa resistir a 3 \times 10^{8} \mathrm{~V} / \mathrm{m} e que possua uma constante dielétrica \kappa=5. Qual o volume desse dielétrico, idêntico ao volume entre as placas do capacitor, necessário para ele ser capaz de armazenar 100 kJ de energia?
Resposta:
(a) O volume deve ser de 2.51 \times 10^{3} m^{3}
(b) Agora o volume deve ser 5.02 \times 10^{-} 2 m^{3}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedido: projetar um capacitor de placas paralelas que armazene 100\\ \text{kJ} de energia; é solicitado o volume mínimo entre as placas do capacitor que permite armazenar essa energia.
  • Dados do enunciado:
    • Energia requerida: U=100\\ \text{kJ}=1{,}00\times10^{5}\\ \text{J}.
    • (a) Dielétrico: ar. Não foi dado explicitamente o campo elétrico máximo do ar no enunciado; vamos usar o valor típico de resistência dielétrica do ar: E_{\text{ar}}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m} (valor comumente usado para breakdown em ar em campo uniforme).
    • (b) Novo dielétrico: resistência ao campo E_{\text{novo}}=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{V/m} e constante dielétrica \kappa=5. O volume pedido é o mesmo (volume entre placas preenchido por esse dielétrico).
  • Constante elétrica do vácuo (permitividade): \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    Observação: os dois volumes pedidos são calculados assumindo que o limite para a energia armazenável é dado pelo campo elétrico máximo suportado pelo dielétrico; ou seja, usamos a densidade de energia do campo até esse E_{\max}.

Passo 2

A fórmula que vamos usar é a da densidade de energia elétrica no interior de um dielétrico homogêneo sujeito a um campo elétrico \,E. A densidade de energia (energia por unidade de volume) é
u=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^{2},
onde:
  • u é a densidade de energia em \mathrm{J/m^{3}};
  • \varepsilon é a permitividade do dielétrico em \mathrm{F/m}, dada por \varepsilon=\varepsilon_{0}\kappa, com \varepsilon_{0} a permitividade do vácuo e \kappa a constante dielétrica do material;
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
    Explicando: essa fórmula vem da energia armazenada no campo elétrico por unidade de volume; para um capacitor com dielétrico homogêneo, a energia total é a densidade multiplicada pelo volume ocupado pelo campo.

Passo 3

Relacionando energia total U com densidade u e volume V:
U = u \, V = \frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^{2}\,V.
Isolando o volume V que precisamos:
V = \frac{2U}{\varepsilon\,E^{2}} = \frac{2U}{\varepsilon_{0}\kappa\,E^{2}}.
Aqui U é conhecida, \varepsilon_{0} é conhecida, e para cada caso substituímos os valores de \kappa e E.

Passo 4

Agora calculamos o item (a): dielétrico = ar.
  • Para o ar usamos \kappa_{\text{ar}}\approx1 e E_{\text{ar}}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
    Substituindo na fórmula:
V_{\text{ar}}=\frac{2U}{\varepsilon_{0}\kappa_{\text{ar}}E_{\text{ar}}^{2}}.
Colocando os números:
V_{\text{ar}}=\frac{2\cdot\left(1{,}00\times10^{5}\right)}{\left(8{,}854\times10^{-12}\right)\cdot 1 \cdot\left(3{,}0\times10^{6}\right)^{2}}.

Passo 5

Faço as contas passo a passo (sempre em notação científica):
  • Primeiro E_{\text{ar}}^{2}=\left(3{,}0\times10^{6}\right)^{2}=9{,}0\times10^{12}.
  • Então o produto \varepsilon_{0}\kappa_{\text{ar}}E_{\text{ar}}^{2}=(8{,}854\times10^{-12})\cdot(9{,}0\times10^{12}).
  • Multiplicando coeficientes: 8{,}854\times9{,}0=79{,}686.
  • Somando os expoentes: -12+12=0. Logo
\varepsilon_{0}\kappa_{\text{ar}}E_{\text{ar}}^{2}=79{,}686\approx7{,}9686\times10^{1}.
  • Agora o volume:
V_{\text{ar}}=\frac{2,00\times10^{5}}{79{,}686}\approx2{,}5103\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
V_{\text{ar}}\approx2{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Agora o item (b): dielétrico com \kappa=5 e E_{\text{novo}}=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{V/m}.
Usamos novamente
V_{\text{novo}}=\frac{2U}{\varepsilon_{0}\kappa E_{\text{novo}}^{2}}.
Substituindo os valores:
V_{\text{novo}}=\frac{2\cdot\left(1{,}00\times10^{5}\right)}{\left(8{,}854\times10^{-12}\right)\cdot 5 \cdot\left(3{,}0\times10^{8}\right)^{2}}.

Passo 7

Faço as contas passo a passo:
  • Primeiro E_{\text{novo}}^{2}=\left(3{,}0\times10^{8}\right)^{2}=9{,}0\times10^{16}.
  • Produto \kappa E_{\text{novo}}^{2}=5\cdot 9{,}0\times10^{16}=4{,}5\times10^{17}.
  • Agora \varepsilon_{0}\kappa E_{\text{novo}}^{2}=(8{,}854\times10^{-12})\cdot(4{,}5\times10^{17}).
  • Multiplicando coeficientes: 8{,}854\times4{,}5=39{,}843.
  • Somando os expoentes: -12+17=5. Logo
\varepsilon_{0}\kappa E_{\text{novo}}^{2}=39{,}843\times10^{5}=3{,}9843\times10^{6}.
  • Finalmente o volume:
V_{\text{novo}}=\frac{2{,}00\times10^{5}}{3{,}9843\times10^{6}}\approx5{,}019\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
V_{\text{novo}}\approx5{,}02\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Interpretação rápida e sanity check (sem números novos): ao aumentar muito a resistência ao campo ( E_{\max}) e usar uma constante dielétrica maior, a densidade de energia \tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2} cresce muito, então o volume necessário cai drasticamente — é por isso que no caso (b) o volume é muitas ordens de magnitude menor que no caso (a). Isso faz sentido físico: materiais com alta constante dielétrica e alta resistência elétrica permitem armazenar muito mais energia por unidade de volume.

Resposta

V_{\text{ar}}=2{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}
V_{\text{novo}}=5{,}02\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}

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