Um segmento de reta infinito carregado com densidade linear de carga
apóia-se sobre o eixo
. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: Admita que
a uma distância de
.
12 m
12 m
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Um segmento de reta infinito com densidade linear de carga
está apoiado sobre o eixo . - Foi escolhida uma referência de potencial tal que
à distância da reta. - Pede-se o potencial elétrico no ponto que está a uma distância
da reta.
Informações importantes que vou usar (tudo em unidades do SI):
-
(conversão de para ). -
(permissividade do vácuo) que vale aproximadamente . - A simetria do problema é cilíndrica (reta infinita), o potencial depende só da distância radial
.
Passo 2
Campo elétrico de uma linha infinita: dedução rápida via Lei de Gauss (aula curta para lembrar a ideia).
- Escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento , coaxial com a linha carregada. - A carga encerrada pela superfície é
. - O fluxo elétrico pela superfície lateral é
porque o campo é radial e constante na superfície lateral. - Pela Lei de Gauss:
- Cancelando
e isolando obtemos a expressão do campo:
Explicação intuitiva:
diminui como
por causa da geometria cilíndrica (a área lateral cresce com
).
Passo 3
Relação entre potencial e campo elétrico (recordando a definição):
- A diferença de potencial entre dois pontos radiais
e é
- Aqui escolhemos o caminho radial, então
. Substituindo da expressão anterior:
- Integrando:
- Reorganizando, uma forma prática é
Como no enunciado foi dado
, isso simplifica para
Breve comentário didático: o potencial de uma linha infinita não tem um valor finito absoluto definido sem escolher uma referência; por isso o enunciado fornece
em
.
Passo 4
Preparar a substituição numérica com cuidado (cada passo explicadinho):
- Converter
:
- Calcular o fator
:
- Calcular o logaritmo:
- A expressão final numérica é, portanto,
(No próximo item eu multiplico e apresento o resultado final arredondado.)
Passo 5
Interpretação física curta e incentivo (para você lembrar na prova):
- Como
a linha é positivamente carregada; o potencial diminui ao se afastar da linha, por isso o sinal negativo aparece no resultado numérico. - Mantém a calma: o procedimento padrão é sempre este — achar
por simetria (Gauss), depois integrar para obter usando uma referência — decore esse roteiro que cai muito em prova!