(a) Um indutor de 0.5 H está em série com um resistor de 20 \Omega e uma fonte de 24 V .
(i) Calcule a constante de tempo indutiva.
(ii) Qual é a corrente no circuito após 2 constantes de tempo?
(iii) Descreva como a energia armazenada no indutor varia com o tempo.
(b) Um indutor de 1 H é desconectado repentinamente de uma fonte de 12 V após atingir a corrente máxima.
(i) Escreva a expressão para a corrente no indutor durante a descarga.
(c) Análise comparativa: Compare o comportamento transiente de circuitos RC e RL durante o carregamento/descarga.

Passo 1

O enunciado trata de transientes em circuitos RL e pede: (a) para um indutor de L=0{,}5\\ \mathrm{H} em série com R=20\\ \Omega e fonte de 24\\ \mathrm{V}, calcular a constante de tempo, a corrente após duas constantes de tempo e descrever como varia a energia armazenada; (b) para um indutor de 1\\ \mathrm{H} desconectado repentinamente de uma fonte de 12\\ \mathrm{V} após atingir corrente máxima, escrever a expressão de descarga; (c) comparar qualitativamente o comportamento transiente de circuitos RC e RL. Vamos usar a equação diferencial do circuito RL, a definição de constante de tempo \tau=L/R e a fórmula de energia no indutor W=\tfrac12Li^2.

Passo 2

Para (a-i), a constante de tempo indutiva \tau em um circuito RL é
\tau = \frac{L}{R}.
Substituindo L=0{,}5\\ \mathrm{H} e R=20\\ \Omega,
\tau = \frac{0{,}5}{20} = 0{,}025\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Para (a-ii), a corrente de regime permanente é I_\infty = V/R = 24/20 = 1{,}2\\ \mathrm{A}. A resposta transiente de subida é
i(t) = I_\infty\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr).
Em t=2\tau,
i(2\tau) = 1{,}2\bigl(1 - e^{-2}\bigr)\approx 1{,}2\,(1 - 0{,}1353)\approx 1{,}0376\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Para (a-iii), a energia no indutor é
W(t) = \tfrac12\,L\,i^2(t).
Como i(t) cresce exponencialmente de 0 até I_\infty, W(t) cresce de 0 até
W_\infty = \tfrac12\,L\,I_\infty^2 = \tfrac12\cdot0{,}5\cdot(1{,}2)^2 = 0{,}36\\ \mathrm{J}.
Ou seja, a energia armazenada segue a lei
W(t) = \tfrac12\,L\,\bigl(I_\infty(1-e^{-t/\tau})\bigr)^2,
crescendo suavemente em forma de “S” invertido, assintótica a 0{,}36\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para (b-i), ao desconectar o indutor de L=1\\ \mathrm{H} de sua fonte, assume-se um circuito de descarga com resistência R. A solução geral da descarga é
i(t) = I_0\,e^{-R t/L},
onde I_0 é a corrente imediatamente antes de desconectar (corrente máxima).

Passo 6

Para (c), comparando RC vs RL em cargas/descargas:
  • Tempo característico: \tau_{RC}=RC e \tau_{RL}=L/R.
  • No circuito RC a tensão no capacitor cresce exponencialmente de 0 a V e na descarga decai de V a 0; a corrente inicia alta e decresce.
  • No circuito RL a corrente cresce exponencialmente de 0 a V/R e na descarga decai de I_0 a 0; a tensão inicial no indutor é máxima (V=L\,di/dt) e depois decai.
  • Ambos seguem lei do tipo 1-e^{-t/\tau} (carga) ou e^{-t/\tau} (descarga), mas RC armazena energia em campo elétrico \tfrac12C v^2 e RL em campo magnético \tfrac12L i^2.

Resposta

(a-i) \tau = 0{,}025\\ \mathrm{s}.
(a-ii) i(2\tau)\approx 1{,}0376\\ \mathrm{A}.
(a-iii) W(t)=\tfrac12L\bigl(I_\infty(1-e^{-t/\tau})\bigr)^2, crescendo de 0 até 0{,}36\\ \mathrm{J}.
(b-i) i(t)=I_0\,e^{-Rt/L}.
(c) Ambos têm decaimento/exponencial similar, RC armazena no capacitor ( \tfrac12Cv^2), RL no indutor ( \tfrac12Li^2); \tau_{RC}=RC, \tau_{RL}=L/R, e comportamentos de tensão e corrente são complementares.

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