Uma esfera de raio R=2,0 \mathrm{~cm} possui carga total Q=80 \mathrm{nC} uniformemente distribuída em seu volume. A esfera gira em torno de um eixo que passa por seu centro com velocidade angular \omega=1200 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. No equador da esfera, a uma distância r=3,0 \mathrm{~cm} do centro, determine:
(a) O campo elétrico
(b) O campo magnético produzido pela rotação
(c) A corrente equivalente produzida pela rotação

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três quantidades. Dados (peguei todos no enunciado):
  • Raio da esfera: R=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Carga total uniformemente distribuída no volume: Q=80\\ \mathrm{nC}=80\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Velocidade angular de rotação: \omega=1200\\ \mathrm{rad/s}.
  • Ponto onde se quer avaliar os campos: no equador, a uma distância do centro r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) o campo elétrico no ponto r=0{,}030\\ \mathrm{m};
(b) o campo magnético produzido pela rotação, no mesmo ponto (equador, r=0{,}030\\ \mathrm{m});
(c) a corrente equivalente produzida pela rotação.
Observação útil para conversões e constantes que usarei:
  • Constante elétrica: \varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Constante 1/(4\pi\varepsilon_0) (constante de Coulomb): k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Constante magnética: \dfrac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.

Passo 2

(a) Campo elétrico em r=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Conceito e ideia: para uma esfera com carga uniformemente distribuída, para pontos fora da esfera ( r>R) o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual Q colocada no centro. Isso vem da Lei de Gauss (explicarei rapidamente): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície esférica centrada na carga é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0. Para simetria esférica isso dá um campo radial com magnitude \,E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}}\, para r\ge R.
Aplicando aqui (como r=0{,}030\\ \mathrm{m}>R):
E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}} = k\,\dfrac{Q}{r^{2}}.
Agora calculo numérico passo a passo:
r^{2}=(0{,}030\\ \mathrm{m})^{2}=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
\dfrac{Q}{r^{2}}=\dfrac{80\times10^{-9}\\ \mathrm{C}}{9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}}=8{,}888\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
E=k\dfrac{Q}{r^{2}}\approx 8{,}99\times10^{9}\times 8{,}888\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{N/C}\approx 7{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: o vetor campo elétrico é radial e, como Q>0, aponta para fora do centro (radialmente para fora).

Passo 3

(b) Primeiro passo para o campo magnético: calcular o momento magnético \mu da esfera girante (é assim que se obtém o campo em pontos externos quando a esfera é pequena comparada à distância).
Ideia física e fórmulas usadas: uma carga em rotação cria correntes efetivas; o conjunto dessas correntes gera um momento magnético dipolar \boldsymbol{\mu}. Para uma esfera maciça com densidade de carga volumétrica uniforme \rho girando com velocidade angular \omega o momento magnético (resultado conhecido, que vou deduzir) é
\mu=\dfrac{1}{5}\,Q\,\omega\,R^{2}.
Vou deduzir isso de forma didática, integrando as contribuições de pequenos elementos de carga.
Passos da dedução:
  1. Densidade de carga volumétrica:
\rho=\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}}.
  1. Considere um pequeno elemento de volume dV situado a distância s do eixo de rotação (isto é, s é o raio da “pequena espira” descrita por esse elemento). Esse elemento contém carga dq=\rho\,dV. Como gira com velocidade angular \omega, essa carga percorre uma volta em período T=2\pi/\omega, portanto gera uma corrente efetiva
dI=\dfrac{dq}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}\,dq.
A área da espira descrita por esse elemento é \pi s^{2}, então a contribuição para o momento magnético é
d\mu = dI\cdot(\text{área}) = \dfrac{\omega}{2\pi}\,dq\cdot\pi s^{2}=\tfrac{1}{2}\,\omega\,s^{2}\,dq.á
  1. Assim o momento magnético total é
\mu=\tfrac{1}{2}\,\omega\int s^{2}\,dq = \tfrac{1}{2}\,\omega\int s^{2}\,\rho\,dV.
Em coordenadas esféricas tomo coordenadas (r',\theta,\varphi) (uso r' para não confundir com o ponto onde avaliaremos o campo). A distância ao eixo é s=r'\sin\theta e dV=r'^{2}\sin\theta\,dr'\,d\theta\,d\varphi. Então
\int s^{2}\,dV=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} (r'\sin\theta)^{2}\, r'^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr' .
Agrupando:
\int s^{2}\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r'^{4}\,dr'\right).
Cálculos das integrais:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = \dfrac{4}{3}\quad\text{(esta integral é padrão; pode-se usar identidade e reduzir).}éã
\int_{0}^{R} r'^{4}\,dr' = \dfrac{R^{5}}{5}.
Portanto
\int s^{2}\,dV = 2\pi\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{R^{5}}{5}=\dfrac{8\pi}{15}\,R^{5}.
  1. Voltando para \mu:
\mu=\tfrac{1}{2}\,\omega\,\rho\left(\dfrac{8\pi}{15}R^{5}\right).
Substituindo \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}}:
\mu=\tfrac{1}{2}\,\omega\,\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}}\cdot\dfrac{8\pi}{15}R^{5}.
Simplificando fatores:
\mu=\tfrac{1}{2}\omega Q \cdot \dfrac{3\cdot 8}{4\cdot 15}\,R^{2} = \tfrac{1}{2}\omega Q \cdot \dfrac{24}{60}\,R^{2}=\tfrac{1}{2}\omega Q\cdot\dfrac{2}{5}R^{2}=\dfrac{1}{5}Q\omega R^{2}.
Portanto a expressão ficou confirmada:
\boxed{\mu=\dfrac{1}{5}\,Q\,\omega\,R^{2}}.
  1. Calculo numérico de \mu:
R^{2}=(0{,}020\\ \mathrm{m})^{2}=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Q\omega R^{2}=80\times10^{-9}\times 1200\times 4{,}0\times10^{-4}=3{,}84\times10^{-8}\\ \mathrm{C\cdot m^{2}/s}.
\mu=\dfrac{1}{5}\times 3{,}84\times10^{-8}=7{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

Passo 4

Agora obtenho o campo magnético no equador a distância r=0{,}030\\ \mathrm{m} do centro, usando aproximação dipolar (válida porque avaliamos campo fora da região ocupada pela carga e a distribuição é compacta).
Campo magnético de um dipolo magnético \boldsymbol{\mu} em distância r, no plano equatorial (ângulo polar \theta=90^\circ), tem magnitude
B_{\text{eq}}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\,\dfrac{\mu}{r^{3}}.
Como \dfrac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}, temos
B=10^{-7}\,\dfrac{\mu}{r^{3}}.
Substituindo \mu=7{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} e r^{3}=(0{,}030)^{3}=2{,}7\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}:
B=10^{-7}\times\dfrac{7{,}68\times10^{-9}}{2{,}7\times10^{-5}} = \dfrac{7{,}68\times10^{-16}}{2{,}7\times10^{-5}} \approx 2{,}84\times10^{-11}\\ \mathrm{T}.
Direção: para carga positiva girando com vetor angular \boldsymbol{\omega} (digamos \hat{z} para cima), o momento magnético \boldsymbol{\mu} aponta na mesma direção de \boldsymbol{\omega}. No plano equatorial o campo dipolar resultante aponta na direção oposta ao eixo (isto é, se \boldsymbol{\omega} é para cima, em um ponto do equador o campo tem componente axial apontando para baixo). Em resumo: magnitude 2{,}84\times10^{-11}\\ \mathrm{T} e orientação axial oposta a \boldsymbol{\omega} no equador.

Passo 5

(c) Corrente equivalente produzida pela rotação.
Interpretação e raciocínio: um jeito simples e direto de definir uma “corrente equivalente” associada à rotação é notar que toda a carga Q completa uma volta em cada período T=2\pi/\omega. Assim, a quantidade de carga que passa por um plano meridiano fixo por unidade de tempo é exatamente Q/T. Portanto a corrente equivalente é
I_{\text{eq}}=\dfrac{Q}{T}=Q\,\dfrac{\omega}{2\pi}.
(Cheque físico: todo elemento de carga passa por uma dada longitude uma vez por revolução, e somando sobre todos os elementos obtém-se Q por revolução.)
Cálculo numérico:
I_{\text{eq}}=Q\,\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{80\times10^{-9}\times 1200}{2\pi} =\dfrac{9{,}6\times10^{-5}}{2\pi}\\ \mathrm{A}\approx 1{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
Convertendo, isso é cerca de 15{,}3\\ \mu\mathrm{A}.
Observação adicional (útil para entender diferenças de definição): se alguém definisse “corrente equivalente” como a corrente que, flui numa única espira de raio R, produziria o mesmo momento magnético \mu, então essa corrente alternativa seria
I_{\text{espira}}=\dfrac{\mu}{\pi R^{2}}=\dfrac{1}{5}\dfrac{Q\omega R^{2}}{\pi R^{2}}=\dfrac{Q\omega}{5\pi},
que numericamente dá aproximadamente 6{,}11\times10^{-6}\\ \mathrm{A}. Mas o enunciado normalmente pede a corrente equivalente simplesmente como Q/T; por isso o valor principal que dei é 1{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) E=7{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (radial, apontando para fora do centro).
(b) B\approx 2{,}84\times10^{-11}\\ \mathrm{T} (no equador, direção axial oposta a \boldsymbol{\omega}).
(c) I_{\text{eq}}=Q\,\dfrac{\omega}{2\pi}\approx 1{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{A} (≈ 15{,}3\\ \mu\mathrm{A}).

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