Uma esfera de raio
possui carga total
uniformemente distribuída em seu volume. A esfera gira em torno de um eixo que passa por seu centro com velocidade angular
. No equador da esfera, a uma distância
do centro, determine:
(a) O campo elétrico
(b) O campo magnético produzido pela rotação
(c) A corrente equivalente produzida pela rotação
(a) O campo elétrico
(b) O campo magnético produzido pela rotação
(c) A corrente equivalente produzida pela rotação
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três quantidades. Dados (peguei todos no enunciado):
- Raio da esfera:
. - Carga total uniformemente distribuída no volume:
. - Velocidade angular de rotação:
. - Ponto onde se quer avaliar os campos: no equador, a uma distância do centro
.
O enunciado pede:
(a) o campo elétrico no ponto ;
(b) o campo magnético produzido pela rotação, no mesmo ponto (equador, );
(c) a corrente equivalente produzida pela rotação.
(a) o campo elétrico no ponto
(b) o campo magnético produzido pela rotação, no mesmo ponto (equador,
(c) a corrente equivalente produzida pela rotação.
Observação útil para conversões e constantes que usarei:
- Constante elétrica:
. - Constante
(constante de Coulomb): . - Constante magnética:
.
Passo 2
(a) Campo elétrico em
.
Conceito e ideia: para uma esfera com carga uniformemente distribuída, para pontos fora da esfera (
) o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual
colocada no centro. Isso vem da Lei de Gauss (explicarei rapidamente): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície esférica centrada na carga é
. Para simetria esférica isso dá um campo radial com magnitude
para
.
Aplicando aqui (como
):
Agora calculo numérico passo a passo:
Direção: o vetor campo elétrico é radial e, como
, aponta para fora do centro (radialmente para fora).
Passo 3
(b) Primeiro passo para o campo magnético: calcular o momento magnético
da esfera girante (é assim que se obtém o campo em pontos externos quando a esfera é pequena comparada à distância).
Ideia física e fórmulas usadas: uma carga em rotação cria correntes efetivas; o conjunto dessas correntes gera um momento magnético dipolar
. Para uma esfera maciça com densidade de carga volumétrica uniforme
girando com velocidade angular
o momento magnético (resultado conhecido, que vou deduzir) é
Vou deduzir isso de forma didática, integrando as contribuições de pequenos elementos de carga.
Passos da dedução:
- Densidade de carga volumétrica:
- Considere um pequeno elemento de volume
situado a distância do eixo de rotação (isto é, é o raio da “pequena espira” descrita por esse elemento). Esse elemento contém carga . Como gira com velocidade angular , essa carga percorre uma volta em período , portanto gera uma corrente efetiva
A área da espira descrita por esse elemento é
, então a contribuição para o momento magnético é
- Assim o momento magnético total é
Em coordenadas esféricas tomo coordenadas
(uso
para não confundir com o ponto onde avaliaremos o campo). A distância ao eixo é
e
. Então
Agrupando:
Cálculos das integrais:
Portanto
- Voltando para
:
Substituindo
:
Simplificando fatores:
Portanto a expressão ficou confirmada:
- Calculo numérico de
:
Passo 4
Agora obtenho o campo magnético no equador a distância
do centro, usando aproximação dipolar (válida porque avaliamos campo fora da região ocupada pela carga e a distribuição é compacta).
Campo magnético de um dipolo magnético
em distância
, no plano equatorial (ângulo polar
), tem magnitude
Como
, temos
Substituindo
e
:
Direção: para carga positiva girando com vetor angular
(digamos
para cima), o momento magnético
aponta na mesma direção de
. No plano equatorial o campo dipolar resultante aponta na direção oposta ao eixo (isto é, se
é para cima, em um ponto do equador o campo tem componente axial apontando para baixo). Em resumo: magnitude
e orientação axial oposta a
no equador.
Passo 5
(c) Corrente equivalente produzida pela rotação.
Interpretação e raciocínio: um jeito simples e direto de definir uma “corrente equivalente” associada à rotação é notar que toda a carga
completa uma volta em cada período
. Assim, a quantidade de carga que passa por um plano meridiano fixo por unidade de tempo é exatamente
. Portanto a corrente equivalente é
(Cheque físico: todo elemento de carga passa por uma dada longitude uma vez por revolução, e somando sobre todos os elementos obtém-se
por revolução.)
Cálculo numérico:
Convertendo, isso é cerca de
.
Observação adicional (útil para entender diferenças de definição): se alguém definisse “corrente equivalente” como a corrente que, flui numa única espira de raio
, produziria o mesmo momento magnético
, então essa corrente alternativa seria
que numericamente dá aproximadamente
. Mas o enunciado normalmente pede a corrente equivalente simplesmente como
; por isso o valor principal que dei é
.
Resposta
(a)
(radial, apontando para fora do centro).
(b) (no equador, direção axial oposta a
).
(c) (≈
).
(b)
(c)