Um capacitor de placas paralelas de área
e separação
está sendo carregado por uma fonte que fornece uma corrente variável
, onde
A e
. Determine:
(a) A expressão para o campo elétrico entre as placas em função do tempo
(b) A corrente de deslocamento máxima
(c) O campo magnético a uma distância
do eixo central no instante
onde a corrente é máxima
(a) A expressão para o campo elétrico entre as placas em função do tempo
(b) A corrente de deslocamento máxima
(c) O campo magnético a uma distância
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os dados estão abaixo).
- Dados do problema:
- Área das placas:
. - Separação entre as placas:
. - Corrente fornecida pela fonte:
com e . - Constante elétrica do vácuo:
.
- Área das placas:
- O enunciado pede:
(a) a expressão para o campo elétrico entre as placas em função do tempo;
(b) a corrente de deslocamento máxima;
(c) o campo magnético a uma distânciado eixo central no instante em que a corrente é máxima.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática).
- Carga e corrente: a corrente elétrica é a taxa de variação da carga no terminal, ou seja
onde
é a carga acumulada numa das placas (módulo da carga).
- Campo elétrico entre placas planas e paralelas (placas grandes, campo uniforme):
onde
é a densidade superficial de carga na placa. Como
, temos
Comentário intuitivo: a placa com carga
“cria” um campo uniforme proporcional a
e inversamente a
.
- Corrente de deslocamento (Maxwell): entre as placas não há corrente de condução, mas há corrente de deslocamento definida por
onde
é o fluxo elétrico através da área da placa. Se
é uniforme,
Observação chave (muito útil na prova): substituindo
na expressão acima obtém-se
. Ou seja, a corrente de deslocamento entre as placas é igual à corrente que carrega o capacitor.
Passo 3
Encontrar
a partir de
e obter
.
- Integrando
temos
Como o enunciado não especifica carga inicial, adotamos a condição conveniente e comum em exercícios:
. (Isso corresponde a começar a observar o circuito quando a carga inicial é nula; se houvesse
conhecido, bastaria somá-lo.)
- Substituindo em
obtemos
Explicando cada símbolo nesta fórmula:
-
é o campo elétrico entre as placas (V/m); -
é a amplitude da corrente (A); -
é a frequência angular (rad/s); -
é a permissividade do vácuo (F/m); -
é a área da placa (m ).
Passo 4
Calcular numericamente a amplitude do campo elétrico.
- Amplitude de
é
- Substituindo os valores (
, , , ):
- Portanto a expressão final (com a amplitude numérica) é
(Dica: na prova é suficiente deixar a forma simbólica e, se pedirem valor numérico, fazer a substituição como fiz aqui.)
Passo 5
Determinar a corrente de deslocamento máxima (parte (b)).
- Já mostramos que, em geral,
- Diferenciando
obtemos
- Multiplicando por
,
- Logo a corrente de deslocamento é exatamente a corrente fornecida pela fonte; a corrente de deslocamento máxima em módulo é simplesmente a amplitude
. Assim
Observação intuitiva: entre as placas não passa corrente de cargas livres, mas o campo elétrico variável produz o mesmo efeito que uma corrente (é a ideia da correção de Maxwell).
Passo 6
Calcular o campo magnético a distância
no instante em que a corrente é máxima (parte (c)). Primeiro explico a lei usada.
- Usamos a lei de Ampère-Maxwell: para uma curva fechada circular de raio
concêntrica com o eixo do capacitor (simetria circular),
- Entre placas não há corrente de condução atravessando a superfície caprichosa que usamos, portanto
. Resta o termo de deslocamento. Supondo placas circulares (essa hipótese é padrão quando só a área é dada e pede-se a uma distância do eixo), o fluxo de deslocamento é distribuído uniformemente sobre a área da placa. Então a fração da corrente de deslocamento que atravessa um disco de raio é . Assim
- Pela simetria,
tem direção tangencial (circunferencial) e módulo constante sobre uma circunferência de raio , então
- Logo
Comentário: essa é a expressão do campo magnético entre as placas para
menor que o raio da placa; se
fosse maior que o raio da placa, a corrente enclausurada seria toda
e a fórmula mudaria.
Passo 7
Aplicar a fórmula para o instante em que a corrente é máxima.
- Quando a corrente é máxima,
, logo . - Substituindo em
com
,
,
:
- Simplificando:
- Direção: o campo magnético é tangencial (circunferencial) em torno do eixo do capacitor. Usando a regra da mão direita com a direção da corrente (se a corrente apontar para cima, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima; se a corrente estiver para baixo, o sentido é contrário).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(campo tangencial, sentido dado pela regra da mão direita)