Um capacitor de placas paralelas de área A=100 \mathrm{~cm}^{2} e separação d=5,0 \mathrm{~mm} está sendo carregado por uma fonte que fornece uma corrente variável i(t)=i_{0} \cos (\omega t), onde i_{0}=2,0 A e \omega=10^{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine:
(a) A expressão para o campo elétrico entre as placas em função do tempo
(b) A corrente de deslocamento máxima
(c) O campo magnético a uma distância r=3,0 \mathrm{~cm} do eixo central no instante t onde a corrente é máxima

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os dados estão abaixo).
  • Dados do problema:
    • Área das placas: A=100\\ \mathrm{cm}^{2}=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Separação entre as placas: d=5{,}0\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Corrente fornecida pela fonte: i(t)=i_{0}\cos(\omega t) com i_{0}=2{,}0\\ \mathrm{A} e \omega=10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
    • Constante elétrica do vácuo: \epsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • O enunciado pede:
    (a) a expressão para o campo elétrico entre as placas em função do tempo;
    (b) a corrente de deslocamento máxima;
    (c) o campo magnético a uma distância r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} do eixo central no instante t em que a corrente é máxima.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática).
  • Carga e corrente: a corrente elétrica é a taxa de variação da carga no terminal, ou seja
i(t)=\frac{dQ(t)}{dt},
onde Q(t) é a carga acumulada numa das placas (módulo da carga).
  • Campo elétrico entre placas planas e paralelas (placas grandes, campo uniforme):
E(t)=\frac{\sigma(t)}{\epsilon_{0}},
onde \sigma(t) é a densidade superficial de carga na placa. Como \sigma(t)=\dfrac{Q(t)}{A}, temos
E(t)=\frac{Q(t)}{\epsilon_{0}A}.
Comentário intuitivo: a placa com carga Q “cria” um campo uniforme proporcional a Q e inversamente a \epsilon_{0}A.
  • Corrente de deslocamento (Maxwell): entre as placas não há corrente de condução, mas há corrente de deslocamento definida por
i_{d}(t)=\epsilon_{0}\frac{d}{dt}\Phi_{E}(t),
onde \Phi_{E}(t)=\int E\cdot dA=E(t)A é o fluxo elétrico através da área da placa. Se E é uniforme,
i_{d}(t)=\epsilon_{0}A\frac{dE(t)}{dt}.
Observação chave (muito útil na prova): substituindo E(t)=Q(t)/(\epsilon_{0}A) na expressão acima obtém-se i_{d}(t)=\dfrac{dQ}{dt}=i(t). Ou seja, a corrente de deslocamento entre as placas é igual à corrente que carrega o capacitor.

Passo 3

Encontrar Q(t) a partir de i(t) e obter E(t).
  • Integrando i(t)=\dfrac{dQ}{dt} temos
Q(t)=\int i(t)\,dt = \int i_{0}\cos(\omega t)\,dt = \frac{i_{0}}{\omega}\sin(\omega t)+Q(0).
Como o enunciado não especifica carga inicial, adotamos a condição conveniente e comum em exercícios: Q(0)=0. (Isso corresponde a começar a observar o circuito quando a carga inicial é nula; se houvesse Q(0) conhecido, bastaria somá-lo.)
  • Substituindo em E(t)=\dfrac{Q(t)}{\epsilon_{0}A} obtemos
E(t)=\frac{1}{\epsilon_{0}A}\left(\frac{i_{0}}{\omega}\sin(\omega t)\right)=\frac{i_{0}}{\omega\epsilon_{0}A}\sin(\omega t).
Explicando cada símbolo nesta fórmula:
  • E(t) é o campo elétrico entre as placas (V/m);
  • i_{0} é a amplitude da corrente (A);
  • \omega é a frequência angular (rad/s);
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo (F/m);
  • A é a área da placa (m ^2).

Passo 4

Calcular numericamente a amplitude do campo elétrico.
  • Amplitude de E(t) é
E_{\max}=\frac{i_{0}}{\omega\epsilon_{0}A}.
  • Substituindo os valores ( i_{0}=2{,}0\\ \mathrm{A}, \omega=10^{6}\\ \mathrm{rad/s}, \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, A=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}):
\omega\epsilon_{0}A = 10^{6}\times8{,}85\times10^{-12}\times1{,}00\times10^{-2}=8{,}85\times10^{-8}.
E_{\max}=\frac{2{,}0}{8{,}85\times10^{-8}}\approx2{,}26\times10^{7}\\ \mathrm{V/m}.
  • Portanto a expressão final (com a amplitude numérica) é
E(t)=2{,}26\times10^{7}\sin(10^{6}t)\\ \mathrm{V/m}.
(Dica: na prova é suficiente deixar a forma simbólica e, se pedirem valor numérico, fazer a substituição como fiz aqui.)

Passo 5

Determinar a corrente de deslocamento máxima (parte (b)).
  • Já mostramos que, em geral,
i_{d}(t)=\epsilon_{0}A\frac{dE}{dt}.
  • Diferenciando E(t)=\dfrac{i_{0}}{\omega\epsilon_{0}A}\sin(\omega t) obtemos
\frac{dE}{dt}=\frac{i_{0}}{\epsilon_{0}A}\cos(\omega t).
  • Multiplicando por \epsilon_{0}A,
i_{d}(t)=i_{0}\cos(\omega t)=i(t).
  • Logo a corrente de deslocamento é exatamente a corrente fornecida pela fonte; a corrente de deslocamento máxima em módulo é simplesmente a amplitude i_{0}. Assim
i_{d,\max}=i_{0}=2{,}0\\ \mathrm{A}.
Observação intuitiva: entre as placas não passa corrente de cargas livres, mas o campo elétrico variável produz o mesmo efeito que uma corrente (é a ideia da correção de Maxwell).

Passo 6

Calcular o campo magnético a distância r=3{,}0\\ \mathrm{cm} no instante em que a corrente é máxima (parte (c)). Primeiro explico a lei usada.
  • Usamos a lei de Ampère-Maxwell: para uma curva fechada circular de raio r concêntrica com o eixo do capacitor (simetria circular),
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\left(i_{\text{cond,enc}}+i_{d,\text{enc}}\right).
  • Entre placas não há corrente de condução atravessando a superfície caprichosa que usamos, portanto i_{\text{cond,enc}}=0. Resta o termo de deslocamento. Supondo placas circulares (essa hipótese é padrão quando só a área é dada e pede-se B a uma distância r do eixo), o fluxo de deslocamento é distribuído uniformemente sobre a área da placa. Então a fração da corrente de deslocamento que atravessa um disco de raio r é \dfrac{\pi r^{2}}{A}. Assim
i_{d,\text{enc}}(t)=i_{d}(t)\frac{\pi r^{2}}{A}=i(t)\frac{\pi r^{2}}{A}.
  • Pela simetria, \mathbf{B} tem direção tangencial (circunferencial) e módulo constante sobre uma circunferência de raio r, então
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r).
  • Logo
B(2\pi r)=\mu_{0}\,i(t)\frac{\pi r^{2}}{A}\quad\Rightarrow\quad B(r,t)=\frac{\mu_{0}i(t)r}{2A}.
Comentário: essa é a expressão do campo magnético entre as placas para r menor que o raio da placa; se r fosse maior que o raio da placa, a corrente enclausurada seria toda i(t) e a fórmula mudaria.

Passo 7

Aplicar a fórmula para o instante em que a corrente é máxima.
  • Quando a corrente é máxima, \cos(\omega t)=1, logo i(t)=i_{0}=2{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Substituindo em
B(r)=\frac{\mu_{0}i_{0}r}{2A},
com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, r=0{,}03\\ \mathrm{m}, A=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}:
B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times2{,}0\times0{,}03}{2\times1{,}00\times10^{-2}}.
  • Simplificando:
B=12\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx3{,}77\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: o campo magnético é tangencial (circunferencial) em torno do eixo do capacitor. Usando a regra da mão direita com a direção da corrente (se a corrente apontar para cima, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima; se a corrente estiver para baixo, o sentido é contrário).

Resposta

(a) E(t)=\dfrac{i_{0}}{\omega\epsilon_{0}A}\sin(\omega t)=2{,}26\times10^{7}\sin(10^{6}t)\\ \mathrm{V/m}
(b) i_{d,\max}=i_{0}=2{,}0\\ \mathrm{A}
(c) B\big(r=0{,}03\\ \mathrm{m},\;t_{\max}\big)=3{,}77\times10^{-6}\\ \mathrm{T} (campo tangencial, sentido dado pela regra da mão direita)

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