Um guia de ondas retangular contém uma onda eletromagnética com campo elétrico:
\vec{E}=E_{0} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cos (\kappa z-\omega t) \hat{j}
onde a é a largura do guia. Usando as equações de Maxwell:
(a) Determine a expressão para o campo magnético \vec{B}
(b) Encontre a relação de dispersão entre \omega e \kappa

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico dentro de um guia de ondas retangular e pede duas coisas:
  • Campo elétrico fornecido:
\vec{E}=E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t)\,\hat{j}.
  • Parâmetros conhecidos: E_{0} (amplitude), a (largura do guia), \kappa (constante de propagação na direção z), \omega (frequência angular).
    As perguntas são:
    (a) Determinar o campo magnético \vec{B} correspondente a este campo \vec{E}.
    (b) Encontrar a relação de dispersão entre \omega e \kappa.

Passo 2

Equações de Maxwell que vamos usar (região livre de cargas e correntes, meio não condutor):
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Também usaremos a relação c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}} quando for conveniente. Vou trabalhar com coordenadas cartesianas e as bases \hat{i},\hat{j},\hat{k} para x,y,z.

Passo 3

Calcular \nabla\times\vec{E}. Como somente a componente y de \vec{E} é não nula, escrevemos
E_x=0,\qquad E_y=E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t),\qquad E_z=0.
A fórmula do rotacional em componentes dá (as únicas contribuições relevantes são as partes com derivadas de E_y):
\nabla\times\vec{E}=\left(-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{k}.
Agora calculamos as derivadas parciais (usei a regra da cadeia):
\frac{\partial E_y}{\partial z}=E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial z}\cos(\kappa z-\omega t) =E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot(-\kappa)\sin(\kappa z-\omega t),
\frac{\partial E_y}{\partial x}=E_{0}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot\frac{\pi}{a}\cos(\kappa z-\omega t).
Substituindo,
\nabla\times\vec{E}=\kappa E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin(\kappa z-\omega t)\,\hat{i} +\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t)\,\hat{k}.

Passo 4

Usar \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} para obter \vec{B}.
Escrevemos \psi=\kappa z-\omega t para simplificar a escrita. A equação vetorial dá duas equações escalares não-triviais (componentes i e k):
\kappa E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi=-\frac{\partial B_x}{\partial t},
\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\psi=-\frac{\partial B_z}{\partial t}.
Procuramos soluções harmônicas consistentes com a dependência temporal de \vec{E}. Uma escolha natural é tomar
B_x(x,z,t)=A_x\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\psi, \qquad B_z(x,z,t)=A_z\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi,
com A_x,A_z constantes a determinar. Diferenciando no tempo (usar \dfrac{\partial}{\partial t}\cos\psi=\omega\sin\psi e \dfrac{\partial}{\partial t}\sin\psi=-\omega\cos\psi) obtemos
\frac{\partial B_x}{\partial t}=A_x\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\omega\sin\psi, \qquad \frac{\partial B_z}{\partial t}=A_z\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)(-\,\omega\cos\psi).
Substituindo nas equações acima:
  • Para a componente x:
\kappa E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi=-A_x\omega\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi \quad\Rightarrow\quad A_x=-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}.
  • Para a componente z:
\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\psi=+A_z\omega\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\psi \quad\Rightarrow\quad A_z=\frac{\pi E_{0}}{a\omega}.
Assim obtemos as componentes do campo magnético:
B_x=-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t),
B_z=\frac{\pi E_{0}}{a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin(\kappa z-\omega t),
e B_y=0. Em forma vetorial:
\vec{B}=-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t)\,\hat{i} +\frac{\pi E_{0}}{a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin(\kappa z-\omega t)\,\hat{k}.
Observação didática: o campo magnético ficou defasado em \pi/2 em relação a algumas componentes do campo elétrico (veja a troca cos \leftrightarrow sin) — isso é típico de campos harmônicos acoplados pelas equações de Maxwell.

Passo 5

Agora usamos \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} para obter a relação de dispersão. Como \vec{E} só tem componente y, é suficiente comparar a componente y do rotacional de \vec{B}:
(\nabla\times\vec{B})_{y}=\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}.
Calculemos cada termo (vou usar novamente \psi=\kappa z-\omega t):
\frac{\partial B_x}{\partial z}=-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial z}\cos\psi =-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot(-\kappa)\sin\psi =\frac{\kappa^{2}E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi,
\frac{\partial B_z}{\partial x}=\frac{\pi E_{0}}{a\omega}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi =\frac{\pi E_{0}}{a\omega}\left(-\frac{\pi}{a}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\right)\sin\psi =-\frac{\pi^{2}E_{0}}{a^{2}\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi.
Logo
(\nabla\times\vec{B})_{y}=\left(\frac{\kappa^{2}E_{0}}{\omega}+\frac{\pi^{2}E_{0}}{a^{2}\omega}\right)\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi =\frac{E_{0}}{\omega}\Big(\kappa^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\Big)\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi.
O lado direito da equação de Maxwell é
\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E_y}{\partial t}=\mu_{0}\epsilon_{0}\,E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\frac{\partial}{\partial t}\cos\psi =\mu_{0}\epsilon_{0}\,E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\omega\sin\psi.
Igualando as duas expressões e cancelando o fator comum E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\psi (não nulo em geral) obtemos
\frac{1}{\omega}\Big(\kappa^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\Big)=\mu_{0}\epsilon_{0}\,\omega.
Multiplicando por \omega e usando \mu_{0}\epsilon_{0}=\dfrac{1}{c^{2}} chega-se à relação de dispersão:
\omega^{2}=c^{2}\Big(\kappa^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\Big).
Dessa forma o modo tem uma frequência de corte
\omega_{c}= \frac{\pi c}{a},
isto é, para \omega<\omega_{c} não há propagação real (o \kappa fica imaginário).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{B}=-\frac{\kappa E_{0}}{\omega}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos(\kappa z-\omega t)\,\hat{i} +\frac{\pi E_{0}}{a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin(\kappa z-\omega t)\,\hat{k}.
(b) \displaystyle \omega^{2}=c^{2}\Big(\kappa^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\Big).

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