Um guia de ondas retangular contém uma onda eletromagnética com campo elétrico:
onde
é a largura do guia. Usando as equações de Maxwell:
(a) Determine a expressão para o campo magnético
(b) Encontre a relação de dispersão entre
e
(a) Determine a expressão para o campo magnético
(b) Encontre a relação de dispersão entre
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico dentro de um guia de ondas retangular e pede duas coisas:
- Campo elétrico fornecido:
- Parâmetros conhecidos:
(amplitude), (largura do guia), (constante de propagação na direção ), (frequência angular).
As perguntas são:
(a) Determinar o campo magnéticocorrespondente a este campo .
(b) Encontrar a relação de dispersão entree .
Passo 2
Equações de Maxwell que vamos usar (região livre de cargas e correntes, meio não condutor):
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo. Também usaremos a relação
quando for conveniente. Vou trabalhar com coordenadas cartesianas e as bases
para
.
Passo 3
Calcular
. Como somente a componente
de
é não nula, escrevemos
A fórmula do rotacional em componentes dá (as únicas contribuições relevantes são as partes com derivadas de
):
Agora calculamos as derivadas parciais (usei a regra da cadeia):
Substituindo,
Passo 4
Usar
para obter
.
Escrevemos para simplificar a escrita. A equação vetorial dá duas equações escalares não-triviais (componentes
e
):
Escrevemos
Procuramos soluções harmônicas consistentes com a dependência temporal de
. Uma escolha natural é tomar
com
constantes a determinar. Diferenciando no tempo (usar
e
) obtemos
Substituindo nas equações acima:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Assim obtemos as componentes do campo magnético:
e
. Em forma vetorial:
Observação didática: o campo magnético ficou defasado em
em relação a algumas componentes do campo elétrico (veja a troca cos
sin) — isso é típico de campos harmônicos acoplados pelas equações de Maxwell.
Passo 5
Agora usamos
para obter a relação de dispersão. Como
só tem componente
, é suficiente comparar a componente
do rotacional de
:
Calculemos cada termo (vou usar novamente
):
Logo
O lado direito da equação de Maxwell é
Igualando as duas expressões e cancelando o fator comum
(não nulo em geral) obtemos
Multiplicando por
e usando
chega-se à relação de dispersão:
Dessa forma o modo tem uma frequência de corte
isto é, para
não há propagação real (o
fica imaginário).
Resposta
(a)
(b)