Quando um capacitor de placas paralelas circulares, de 20 cm de diâmetro, está sendo carregado, a densidade de corrente de deslocamento através da região entre as placas é uniforme e tem magnitude de 20 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. a) Determine a magnitude do campo magnético, B, a uma distância \mathrm{r}=50 \mathrm{~cm} do eixo de simetria da região. b) Determine \mathrm{dE} / \mathrm{dt} nesta região. R : a) \mathrm{B}=0,25 \mu \mathrm{T}; b) (2,3 \times 10^{12} \mathrm{~V} / \mathrm{ms}).

Passo 1

O enunciado fala de um capacitor de placas paralelas circulares de diâmetro 20\:\text{cm} (logo raio R=10\:\text{cm}=0,1\:\text{m}), em que, ao carregar, existe uma densidade de corrente de deslocamento uniforme
J_d = 20\:\mathrm{A/m^2}.
Precisamos de:
  1. Usar a Lei de Ampère–Maxwell para achar o campo magnético a uma distância r=50\:\text{cm}=0,5\:\text{m} do eixo.
  2. Usar a relação entre densidade de corrente de deslocamento e taxa de variação do campo elétrico
J_d = \epsilon_0 \frac{dE}{dt}
para encontrar \dfrac{dE}{dt}.

Passo 2

Como r>R, todo o deslocamento passa através de um círculo de raio R. A corrente de deslocamento total é
I_d = J_d \cdot \pi R^2 = 20\:\mathrm{A/m^2}\;\pi\,(0,1\:\mathrm{m})^2 = 20\pi\cdot0,01\:\mathrm{A} = 0{,}2\pi\:\mathrm{A}.

Passo 3

Pela Lei de Ampère–Maxwell, num caminho circular de raio r:
\oint \vec B\cdot d\vec l \;=\;\mu_0\,I_d \quad\Longrightarrow\quad B\,(2\pi r) = \mu_0\,I_d \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0\,I_d}{2\pi r}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\:\mathrm{H/m}, I_d=0,2\pi\:\mathrm{A} e r=0,5\:\mathrm{m}:
B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times0,2\pi}{2\pi\times0,5} = \frac{0,8\pi^2\times10^{-7}}{\pi} =0,8\pi\times10^{-7}\:\mathrm{T} \approx2,5\times10^{-7}\:\mathrm{T} =0,25\:\mu\mathrm{T}.

Passo 4

Da definição de densidade de corrente de deslocamento:
J_d = \epsilon_0\,\frac{dE}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dE}{dt} = \frac{J_d}{\epsilon_0} = \frac{20\:\mathrm{A/m^2}}{8{,}854\times10^{-12}\:\mathrm{F/m}} \approx2,26\times10^{12}\:\mathrm{V/(m\cdot s)}.

Resposta

a) B = 0{,}25\:\mu\mathrm{T}
b) \displaystyle \frac{dE}{dt}\approx2{,}3\times10^{12}\:\mathrm{V/(m\cdot s)}

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