3^{\text {a }}. Questão (7pts): Considere uma barra cilíndrica de silício, a barra tem comprimento L, raio a. Uma tensão de V_{0} é aplicada nas extremidades da barra. Dado que o número de elétrons e lacunas livres no silício é 1,5 \times 10^{10} elétrons / \mathrm{cm}^{3}, a mobilidade dos elétrons é 1300 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{Vs} e das lacunas é 500 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{Vs}. Determine:
a) A condutividade da barra de silício. Expresse o resultado em \mho / \mathrm{cm}.
b) Dado que V_{0}=5 \mathrm{~V} e L=5 \mathrm{~cm}, e o campo elétrico é uniforme ao longo da barra. Calcule a velocidade de arraste dos elétrons e das lacunas. Expresse o resultado em \mathbf{c m} / \mathbf{s}.
c) Calcule da corrente que atravessa a barra se o raio da barra é igual a 1 cm . Expresse o resultado em \mu \mathrm{A}.
d) Calcule a resistência da barra. Expresse o resultado em \mathrm{K} \Omega.
e) Calcule a resistência da barra se o sílico for dopado com impurezas doadoras, de forma que o número de elétrons no silício é 1,5 \times 10^{12} elétrons / \mathrm{cm}^{3} e muito maior do que o número de lacunas. Expresse o resultado em \mathrm{K} \Omega. Comente o resultado obtido no item d).
f) Calcule a potência dissipada na barra para os itens d) e e). Expresse o resultado em \mu \mathrm{W}.
g) Calcule a capacitância residual da barra de silício dado que a permissividade relativa do silício é 11,6. Expresse o resultado em p F.

Passo 1

O enunciado trata da condução elétrica em um cilindro de silício de comprimento L e raio a, com densidades de elétrons e lacunas, mobilidades dadas e tensão V_{0} aplicada.
Conteúdo envolvido:
  • Condutividade de semicondutor: \sigma = q\,(n\mu_{e}+p\mu_{h}).
  • Velocidade de arraste: v=\mu E, com E=V_{0}/L.
  • Corrente e resistência pela forma macroscópica de Ohm: I=\sigma E A e R=L/(\sigma A).
  • Potência dissipada: P=V_{0}^{2}/R.
  • Capacitância aproximada de capacitor de placas planas: C=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}\,A/L, onde A=\pi a^{2}.

Passo 2

Calculamos a condutividade intrínseca usando
\sigma \;=\; q\,\bigl(n\,\mu_{e}+p\,\mu_{h}\bigr) \;=\; 1{,}6\times10^{-19} \bigl(1{,}5\times10^{10}\cdot1300 + 1{,}5\times10^{10}\cdot500\bigr) =4{,}32\times10^{-6}
Em unidades de \mathrm{S/cm}.

Passo 3

O campo elétrico uniforme vale
E=\frac{V_{0}}{L}=\frac{5\text{ V}}{5\text{ cm}}=1\;\text{V/cm}.
As velocidades de arraste são
\;v_{e}=\mu_{e}E=1300\cdot1=1300\;\mathrm{cm/s},
\;v_{h}=\mu_{h}E=500\cdot1=500\;\mathrm{cm/s}.

Passo 4

A corrente que atravessa a barra é
I=\sigma\,E\,A =\bigl(4{,}32\times10^{-6}\bigr)\cdot1\cdot\bigl(\pi\cdot1^{2}\bigr) =4{,}32\times10^{-6}\,\pi \approx1{,}36\times10^{-5}\mathrm{A},
ou seja, 13{,}6\;\mu\mathrm{A}.

Passo 5

A resistência sem dopagem é
R=\frac{L}{\sigma\,A} =\frac{5}{4{,}32\times10^{-6}\,\pi} \approx3{,}68\times10^{5}\;\Omega =368{,}5\;\mathrm{k}\Omega.

Passo 6

Com dopagem de modo que n=1{,}5\times10^{12}\,\mathrm{cm^{-3}} e p\ll n,
\sigma' = q\,n\,\mu_{e} =1{,}6\times10^{-19}\cdot1{,}5\times10^{12}\cdot1300 =3{,}12\times10^{-4}\;\mathrm{S/cm},
e
R'=\frac{5}{3{,}12\times10^{-4}\,\pi} \approx5{,}10\times10^{3}\;\Omega =5{,}10\;\mathrm{k}\Omega.

Passo 7

A potência dissipada é
P=\frac{V_{0}^{2}}{R}.
Para R=368{,}5\;\mathrm{k}\Omega:
P_{d}=\frac{5^{2}}{3{,}685\times10^{5}} \approx6,78\times10^{-5}\,\mathrm{W} =67,8\;\mu\mathrm{W}.
Para R'=5{,}10\;\mathrm{k}\Omega:
P_{e}=\frac{5^{2}}{5{,}10\times10^{3}} \approx4,90\times10^{-3}\,\mathrm{W} =4900\;\mu\mathrm{W}.

Passo 8

A capacitância entre as faces do cilindro (como placas paralelas) é
C=\frac{\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}\,A}{L} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\cdot11{,}6\cdot\bigl(\pi(0{,}01)^{2}\bigr)}{0{,}05} \approx6,45\times10^{-13}\,\mathrm{F} =0,645\;\mathrm{pF}.

Resposta

a) \sigma=4{,}32\times10^{-6}\;\mathrm{S/cm}.
b) v_{e}=1300\;\mathrm{cm/s},\quad v_{h}=500\;\mathrm{cm/s}.
c) I=13{,}6\;\mu\mathrm{A}.
d) R=368{,}5\;\mathrm{k}\Omega.
e) R'=5{,}10\;\mathrm{k}\Omega.
f) P_{d}=67{,}8\;\mu\mathrm{W},\quad P_{e}=4900\;\mu\mathrm{W}.
g) C=0{,}645\;\mathrm{pF}.

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