Questão 04. Um gás ideal, \overline{\bar{c}}_{v}=\frac{5}{2} R, é expandido adiabaticamente contra uma pressão constante de 1,00 \mathrm{~atm} até que seu volume seja o dobro. Se a temperatura inicial é 25,0 { }^{\circ} \mathrm{C} e a pressão inicial é 5,00 \mathrm{~atm}. Calcule a temperatura final \left(\mathrm{T}_{2}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{H} por mol de gás para a transformação.

Passo 1

O enunciado descreve a expansão adiabática irreversível de um mol de gás ideal (com \overline{\bar c}_v=\tfrac{5}{2}R) contra pressão externa constante P_{\mathrm{ext}}=1{,}00\\ \mathrm{atm}. O volume final é o dobro do inicial. A temperatura inicial é T_1=25,0\\ ^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K} e a pressão inicial é P_1=5{,}00\\ \mathrm{atm}. Vamos aplicar:
  • equação dos gases ideais para achar V_1 e V_2,
  • definição de trabalho contra pressão constante,
  • primeira lei ( \Delta U=Q+W) com Q=0,
  • relação \Delta U=c_v\Delta T para achar T_2,
  • e \Delta H=c_p\Delta T.

Passo 2

Calcular V_1, V_2 e o trabalho W. Em unidades SI (Pa e m^{3}):
V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} = \frac{1\cdot 8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 298{,}15\;\mathrm{K}}{5{,}00\cdot 1,01325\times10^5\;\mathrm{Pa}} =4{,}887\times10^{-3}\;\mathrm{m^3}.
Como V_2=2V_1, tem-se \Delta V=V_2-V_1=V_1. O trabalho realizado pelo gás (sinal convencional de química: W é trabalho sobre o sistema, W=-P_{\mathrm{ext}}\Delta V) é
W =-P_{\mathrm{ext}}\;\Delta V =-\bigl(1{,}01325\times10^5\;\mathrm{Pa}\bigr)\times4{,}887\times10^{-3}\;\mathrm{m^3} =-495{,}3\;\mathrm{J}.

Passo 3

Por ser processo adiabático, Q=0. Pela primeira lei:
\Delta U = Q + W = 0 + (-495{,}3\;\mathrm{J}) = -495{,}3\;\mathrm{J}.

Passo 4

Usando \Delta U = c_v\,\Delta T com c_v=\tfrac{5}{2}R = \tfrac{5}{2}\times8{,}314=20{,}785\;\mathrm{J/K}, temos
\Delta T = \frac{\Delta U}{c_v} =\frac{-495{,}3}{20{,}785} =-23{,}83\;\mathrm{K},
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T_2 = T_1 + \Delta T = 298{,}15 - 23{,}83 = 274{,}32\;\mathrm{K}.

Passo 5

Para a entalpia, \Delta H = c_p\,\Delta T com c_p=c_v+R=\tfrac{7}{2}R=29{,}099\;\mathrm{J/K}:
\Delta H = 29{,}099\;\mathrm{J/K}\times(-23{,}83\;\mathrm{K}) =-693{,}8\;\mathrm{J}.

Resposta

T_2 = 274{,}3\\ \mathrm{K} Q = 0 W = -495{,}3\\ \mathrm{J} \Delta U = -495{,}3\\ \mathrm{J} \Delta H = -693{,}8\\ \mathrm{J}

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