Questão 05. Um sistema gasoso, de \gamma=1,4 (coeficiente de expansão adiabática), é transformado em ciclos compostos de quatro etapas. Estas etapas se processam entre 300,00 \mathrm{~K} e 800,00 \mathrm{~K}, tal que: (1) O gás, que incialmente está a uma pressão de 41,84 atm, é expandido isotermicamente de um volume \mathrm{V}_{1} para um volume final \mathrm{V}_{2} a 800 K , (2) o sistema é ainda aquecido adiabaticamente até que seu volume seja \mathrm{V}_{3}, tal que \mathrm{V}_{3}>\mathrm{V}_{2}>\mathrm{V}_{1} e a temperatura final seja 300 K ; (3) O sistema é, então, comprimido isotermicamente a 300,00 \mathrm{~K} resultando num volume de 18,70 \mathrm{~L}; (4) Por fim, o sistema é restaurado ao seu estado inicial por uma transformação adiabática. Considere que o gás de trabalho possua comportamento ideal. (R: 3,0) Plote o gráfico destas transformações, calcule as demais variáveis de pressão e volume faltantes. (Dados: R =8,31 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ). Calcule o trabalho líquido realizado após um ciclo de transformações. Calcule a eficiência desta máquina térmica e demostre que a variação entropia do gás de trabalho é zero e que a variação de entropia das vizinhanças aumenta.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de quatro etapas para um gás ideal ( \gamma=1,4) com transformações isotermais a 800{,}00\\ \mathrm{K} (expansão de V_{1} a V_{2}) e a 300{,}00\\ \mathrm{K} (compressão de V_{3} a V_{4}=18{,}70\\ \mathrm{L}), intercaladas por duas etapas adiabáticas que ligam esses dois patamares de temperatura. Foi dado P_{1}=41{,}84\\ \mathrm{atm} em T_{1}=800\\ \mathrm{K} e V_{4}=18{,}70\\ \mathrm{L} em T_{4}=300\\ \mathrm{K}, e pede-se calcular as demais variáveis V_{1},V_{2},V_{3} e P_{2},P_{3},P_{4}, além do trabalho líquido, a eficiência e as variações de entropia.

Passo 2

Para determinar volumes absolutos e pressões em cada estado, seria preciso conhecer ao menos um dos seguintes dados adicionais:
\bullet O número de mols n do gás, ou
\bullet Um dos volumes intermediários ( V_{2} ou V_{3}), ou
\bullet A pressão em algum outro ponto além de P_{1}.
Sem essa informação extra, as relações de proporcionalidade impostas pelas adiabáticas
T V^{\gamma-1}=\text{constante}
apenas fixam as razões
\frac{V_{3}}{V_{2}} =\biggl(\frac{T_{2}}{T_{3}}\biggr)^{\!1/(\gamma-1)} \quad\text{e}\quad \frac{V_{1}}{V_{4}} =\biggl(\frac{T_{4}}{T_{1}}\biggr)^{\!1/(\gamma-1)},
mas não dão valores absolutos para V_{1}, V_{2} e V_{3}.

Passo 3

Da mesma forma, as pressões P_{2},P_{3},P_{4} sairiam de
– isoterma em 800\\ \mathrm{K}: P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2},
– isoterma em 300\\ \mathrm{K}: P_{3}V_{3}=P_{4}V_{4},
mas cada uma dessas equações liga duas variáveis ainda não determinadas.

Passo 4

Portanto, o ciclo como descrito está subdeterminado: com apenas P_{1}, T_{1}, T_{3}, e V_{4}, não é possível obter numericamen\te-te e univocamente V_{1}, V_{2}, V_{3} e as pressões P_{2},P_{3},P_{4} sem especificar n ou mais uma condição de contorno (por exemplo, o valor de V_{2} ou de n).

Resposta

Não há dados suficientes (falta o número de mols ou um volume intermédio adicional) para determinar numericamente as variáveis de estado que faltam.

Exercícios relacionados