Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio R=30 mm e a distância entre as placas é 5,0 mm. Uma diferença de potencial senoidal com um valor máximo de 150 V e uma freqüência de 60 Hz é aplicada às placas, ou seja, a tensão entre as placas é
V=(150 V) sen[2 pi(60 Hz) t]
(a) Determine B maxx (R), o valor máximo do campo magnético induzido a uma distância radial r=R. (b) Plote B max (r) para 0< r<10 cm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre um capacitor de placas paralelas com placas circulares, onde uma tensão senoidal está sendo aplicada. Precisamos encontrar o valor máximo do campo magnético induzido a uma certa distância radial das placas e também plotar esse campo para diferentes distâncias. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente as equações de Maxwell que relacionam campos elétricos e magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração do capacitor. As placas têm raio $ R = 30 , mm = 0,03 , m $ e estão separadas por uma distância $ d = 5,0 , mm = 0,005 , m $. A tensão aplicada é senoidal:
R = 30 , mm = 0,03 , m
Isso significa que a diferença de potencial entre as placas varia com o tempo de forma sinusoidal.

Passo 3

Para achar o campo magnético induzido, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético $ B $ ao campo elétrico variável no tempo $ E $. A lei é dada por:
B
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo e $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo. $ \Phi_E $ é o fluxo elétrico através da área entre as placas.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo elétrico $ \Phi_E $. A área das placas é:
PhiE
O campo elétrico entre as placas é:
A = pi R^2 = pi (0,03)^2 approx 2,827 times 10^-3 , m^2
Então, o fluxo elétrico é:
E(t) = V(t)d = 150 sin(2pi cdot 60 t)0,005 = 30000 sin(2pi cdot 60 t) , V/m

Passo 5

Agora, vamos derivar o fluxo elétrico em relação ao tempo para encontrar $ \frac{d\Phi_E}{dt} $:
dPhiEdt
O valor máximo dessa derivada é $ 31824,6 , V·m/s $.

Passo 6

Usando a Lei de Ampère-Maxwell, temos:
B(r) cdot 2pi r = mu0 epsilon0 dPhiEdt
Isolando $ B® $:
B(r)
Substituindo pelo valor máximo de $ \frac{d\Phi_E}{dt} $:
B(r) = mu0 epsilon0 dPhiEdt2pi r

Passo 7

Vamos agora inserir os valores das constantes:
mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A
epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , F/m
Substituindo na expressão:
Bmax(r) = 4pi times 10^-7 cdot 8,85 times 10^-12 cdot 31824,62pi r
Simplificando os termos:
Bmax(r) = 4 times 8,85 times 10^-19 cdot 31824,62 r
Bmax(r) = 1,126 times 10^-13r , T

Resposta

O valor máximo do campo magnético induzido a uma distância radial $ r = R = 0,03 , m $ é aproximadamente:
r = R = 0,03 , m
Para a parte (b), o campo magnético máximo $ B_{max}® $ para $ 0 < r < 0,10 , m $ varia conforme a relação:
Bmax(0,03) approx 1,126 times 10^-130,03 approx 3,75 times 10^-12 , T
Esse comportamento mostra que $ B_{max}® $ diminui inversamente com a distância $ r $. O gráfico dessa função para $ r $ entre 0 e 10 cm será uma curva decrescente, começando em valores altos próximos a $ r = 0 $ e diminuindo à medida que $ r $ aumenta.

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