Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio
e a distância entre as placas é
. Uma diferença de potencial senoidal com um valor máximo de 150 V e uma freqüência de 60 Hz é aplicada às placas, ou seja, a tensão entre as placas é
(a) Determine
, o valor máximo do campo magnético induzido a uma distância radial
. (b) Plote
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre um capacitor de placas paralelas com placas circulares, onde uma tensão senoidal está sendo aplicada. Precisamos encontrar o valor máximo do campo magnético induzido a uma certa distância radial das placas e também plotar esse campo para diferentes distâncias. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente as equações de Maxwell que relacionam campos elétricos e magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a configuração do capacitor. As placas têm raio $ R = 30 , mm = 0,03 , m $ e estão separadas por uma distância $ d = 5,0 , mm = 0,005 , m $. A tensão aplicada é senoidal:
Isso significa que a diferença de potencial entre as placas varia com o tempo de forma sinusoidal.
Passo 3
Para achar o campo magnético induzido, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético $ B $ ao campo elétrico variável no tempo $ E $. A lei é dada por:
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo e $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo. $ \Phi_E $ é o fluxo elétrico através da área entre as placas.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo elétrico $ \Phi_E $. A área das placas é:
O campo elétrico entre as placas é:
Então, o fluxo elétrico é:
Passo 5
Agora, vamos derivar o fluxo elétrico em relação ao tempo para encontrar $ \frac{d\Phi_E}{dt} $:
O valor máximo dessa derivada é $ 31824,6 , V·m/s $.
Passo 6
Usando a Lei de Ampère-Maxwell, temos:
Isolando $ B® $:
Substituindo pelo valor máximo de $ \frac{d\Phi_E}{dt} $:
Passo 7
Vamos agora inserir os valores das constantes:
Substituindo na expressão:
Simplificando os termos:
Resposta
O valor máximo do campo magnético induzido a uma distância radial $ r = R = 0,03 , m $ é aproximadamente:
Para a parte (b), o campo magnético máximo $ B_{max}® $ para $ 0 < r < 0,10 , m $ varia conforme a relação:
Esse comportamento mostra que $ B_{max}® $ diminui inversamente com a distância $ r $. O gráfico dessa função para $ r $ entre 0 e 10 cm será uma curva decrescente, começando em valores altos próximos a $ r = 0 $ e diminuindo à medida que $ r $ aumenta.