Encontre o campo elétrico no centro de um arco semicircular de carga total +Q.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o campo elétrico no centro de um arco semicircular que tem carga total +Q. Estamos trabalhando com Eletrostática, especificamente com o conceito de campo elétrico gerado por distribuições de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e entender como os componentes dos campos elétricos se somam em situações de simetria, como em um arco semicircular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o arco semicircular de raio $ R $ e carga total $ +Q $. Como é um arco, não temos uma distribuição de carga infinita, mas uma quantidade finita distribuída ao longo do semicirculo. Para facilitar os cálculos, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga $ dq $ em um ponto qualquer do arco.
Passo 3
Aplicamos a Lei de Coulomb para esse elemento de carga $ dq $. O campo elétrico $ d\mathbf{E} $ gerado por $ dq $ no centro do arco é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo, e $ R $ é a distância do elemento $ dq $ até o ponto onde estamos calculando o campo elétrico, que é o centro do arco.
Passo 4
Agora, precisamos considerar a direção desse campo elétrico $ d\mathbf{E} $. Devido à simetria do arco, para cada elemento $ dq $ em uma posição, existe um elemento $ dq’ $ na posição oposta. As componentes horizontais dos campos elétricos desses elementos se cancelam, enquanto as componentes verticais se somam.
Passo 5
Isso significa que o campo elétrico total $ \mathbf{E} $ no centro será apenas a soma das componentes verticais de todos os elementos $ d\mathbf{E} $. Podemos expressar isso como:
Onde $ \theta $ é o ângulo que o elemento $ dq $ faz com a horizontal no centro do arco.
Passo 6
Como estamos lidando com um arco semicircular, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $ radianos. A carga total $ Q $ está distribuída uniformemente ao longo do arco, então podemos expressar $ dq $ em termos de $ \theta $:
Passo 7
Substituindo $ dq $ na expressão do campo elétrico, temos:
Passo 8
Calculando a integral:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O campo elétrico no centro do arco semicircular é: