Qual a carga total necessária para que um condutor esférico de raio R tenha um campo elétrico de 1000 N/C a uma distância 2R do centro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual a carga total necessária para que uma esfera condutora de raio $ R $ crie um campo elétrico de $ 1000 , N/C $ a uma distância de $ 2R $ do centro dela. Isso envolve conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, onde vamos calcular a carga usando a fórmula do campo elétrico gerado por uma esfera carregada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma esfera condutora, toda a carga fica distribuída na superfície e o campo elétrico fora da esfera age como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Então, o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do centro da esfera é dado por:
E
onde:
  • $ E $ é o campo elétrico,
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
  • $ Q $ é a carga total,
  • $ r $ é a distância do centro da esfera.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de $ Q $. Temos o campo elétrico $ E = 1000 , N/C $ e a distância $ r = 2R $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Q

Passo 4

Agora, vamos isolar $ Q $ na equação. Primeiro, elevamos $ 2R $ ao quadrado:
Q
Então, a equação fica:
2R

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação por $ 4R^2 $ para isolar $ Q $:
4R^2
Q

Passo 6

Finalmente, dividimos ambos os lados por $ k $ para resolver $ Q $:
k
Substituindo $ k = 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $:
Q

Resposta

A carga total necessária é:
Q = 4000R^28,99 times 10^9 approx 4,45 times 10^-7 R^2 , C

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