Qual a carga total necessária para que um condutor esférico de raio
tenha um campo elétrico de 1000 N/C a uma distância 2R do centro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual a carga total necessária para que uma esfera condutora de raio $ R $ crie um campo elétrico de $ 1000 , N/C $ a uma distância de $ 2R $ do centro dela. Isso envolve conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, onde vamos calcular a carga usando a fórmula do campo elétrico gerado por uma esfera carregada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma esfera condutora, toda a carga fica distribuída na superfície e o campo elétrico fora da esfera age como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Então, o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do centro da esfera é dado por:
onde:
- $ E $ é o campo elétrico,
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
- $ Q $ é a carga total,
- $ r $ é a distância do centro da esfera.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ Q $. Temos o campo elétrico $ E = 1000 , N/C $ e a distância $ r = 2R $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ Q $ na equação. Primeiro, elevamos $ 2R $ ao quadrado:
Então, a equação fica:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ 4R^2 $ para isolar $ Q $:
Passo 6
Finalmente, dividimos ambos os lados por $ k $ para resolver $ Q $:
Substituindo $ k = 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $:
Resposta
A carga total necessária é: