Um capacitor de placas paralelas está preenchido com ar como dielétrico. As placas têm área igual a 1,4 \mathrm{~cm}^{2} e estão separadas por uma distảncia de 1,0 \mathrm{~mm}. Calcule a carga máxima que pode ser armazenada nas placas desse capacitor, sabendo que o campo elétrico entre as placas nāo pode ultrapassar o valor do campo de ruptura do ar, que é 3,0 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Trate as placas como infinitas. Dica: 1 \mathrm{~cm}^{2}=10^{-4} \mathrm{~m}^{2}. (a) 2,7 \times 10^{-9} \mathrm{C}; (b) 3,2 \times 10^{-9} \mathrm{C}; 3,7 \times 10^{-7} \mathrm{C}; (d) 4,3 \times 10^{-9} \mathrm{C}; (e) 4,8 \times 10^{-9} C; (f) n.d.a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a carga máxima que pode ser armazenada:
  • Área das placas: A=1{,}4\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Separação entre as placas: d=1{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Campo de ruptura do ar (campo elétrico máximo permitido): E_{\max}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
    O que se pede: calcular a carga máxima Q_{\max} que pode ficar numa das placas sem que o campo entre elas ultrapasse E_{\max}.
    Observação dada: tratar as placas como infinitas (ou seja, desprezar efeitos de borda).

Passo 2

Ideia física e fórmula-chave (explicada passo a passo):
  • Para placas paralelas tratadas como infinitas, o campo elétrico entre as placas é uniforme e está relacionado à densidade de carga superficial \sigma por
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico entre as placas (em \mathrm{V/m});
  • \sigma é a densidade superficial de carga (carga por unidade de área) em \mathrm{C/m^2};
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), \varepsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (ou \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
  • A densidade superficial está relacionada à carga total numa placa por
\sigma=\frac{Q}{A},
onde Q é a carga em uma placa e A a área.
  • Juntando as duas fórmulas tem-se
E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\quad\Rightarrow\quad Q=\varepsilon_0 A E.
Essa relação também pode ser vista usando capacitância: C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}, V=E d e Q=CV Q=\varepsilon_0 A E. Note que a dependência em d cancela, então a carga máxima depende apenas de A e E_{\max}.

Passo 3

Converter as unidades para o SI:
  • Área: 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, logo
A=1{,}4\\ \mathrm{cm^2}=1{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • A separação d=1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (não será necessária na fórmula final, mas convertida por completude).
  • Constante: \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Campo máximo: E_{\max}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo usando Q_{\max}=\varepsilon_0 A E_{\max}.
Primeiro calcule a densidade superficial máxima:
\sigma_{\max}=\varepsilon_0 E_{\max} =8{,}85\times10^{-12}\cdot3{,}0\times10^{6} =2{,}655\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Agora a carga máxima:
Q_{\max}=\sigma_{\max}A =2{,}655\times10^{-5}\cdot1{,}4\times10^{-4} =3{,}717\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Arredondando para duas casas significativas (compatível com os dados dados),
Q_{\max}\approx3{,}7\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, com as placas tão pequenas e o ar como dielétrico, a quantidade de carga que cabe antes do ar romper é da ordem de poucos nanocoulombs. Tá ótimo — você já consegue ver que o resultado não depende de d (por causa da relação entre V, E e C), o que é um atalho útil para fazer esse tipo de estimativa rápido na prova.

Resposta

3{,}7\times10^{-9}\\ \mathrm{C}

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