Um capacitor com placas paralelas no ar submetido a uma diferença de potencial de 5,00 times 10^2 V possui uma densidade de energia do campo elétrico igual a 1,59 times 10^-3 J / cm^3. Determine a distância entre as placas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um capacitor de placas paralelas no ar que está submetido a uma diferença de potencial de 5,00 times 10^2 , V e possui uma densidade de energia do campo elétrico de 1,59 times 10^-3 , J/cm^3. Nosso objetivo é descobrir qual é a distância entre as placas desse capacitor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre capacitores, energia armazenada em campos elétricos e como essas grandezas estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a densidade de energia de $ \mathrm{J/cm}^{3} $ para $ \mathrm{J/m}^{3} $, pois as unidades padrão do Sistema Internacional são em metros. Sabemos que:
J/cm^3
Portanto:
J/m^3

Passo 3

A fórmula para a densidade de energia $ u $ em um campo elétrico é:
u
onde:
  • $ \varepsilon_0 $ é a permitividade do vácuo ( u = 12 varepsilon0 E^2 ),
  • $ E $ é a intensidade do campo elétrico.
Sabemos que a intensidade do campo elétrico entre as placas de um capacitor é dada por:
varepsilon0
onde:
  • $ V $ é a diferença de potencial,
  • $ d $ é a distância entre as placas que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo $ E = \frac{V}{d} $ na fórmula da densidade de energia, temos:
E = Vd
Vamos rearranjar essa equação para resolver $ d $:
u = 12 varepsilon0 ( Vd )^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
V = 5,00 times 10^2 , V, u = 1,59 times 10^3 , J/m^3, varepsilon0 = 8,854 times 10^-12 , F/m
Portanto:
d = 5,00 times 10^2raiz2 times 1,59 times 10^38,854 times 10^-12

Passo 6

Calculando o denominador primeiro:
2 times 1,59 times 10^38,854 times 10^-12 = 3,18 times 10^38,854 times 10^-12 approx 3,584 times 10^14
Agora, tirando a raiz quadrada:
raiz3,584 times 10^14 approx 1,895 times 10^7
Então:
d = 5,00 times 10^21,895 times 10^7 approx 2,638 times 10^-5 , m

Resposta

A distância entre as placas do capacitor é aproximadamente 2,638 times 10^-5 , m, ou seja, 26,38 micrômetros.

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